Задача №13810

Цифры четырёхзначного натурального числа, кратного $5\text{,}$ записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из исходного числа вычли второе и получили $1629\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое исходное число.

Пусть исходное четырёхзначное число $N$ имеет цифры $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d$ (где $a\ne 0$), так что:

Так как $N$ кратно $5\text{,}$ последняя цифра $d$ равна $0$ или $5\text{.}$ Если $d=0\text{,}$ то при записи в обратном порядке получаем число, начинающееся с $0\text{,}$ которое не является четырёхзначным. Следовательно, $d=5\text{.}$

Тогда исходное число:

Число, полученное обратной записью цифр:

По условию $N-M=1629\text{.}$ Подставим выражения:

Упростим уравнение:

Разделим обе части на $9\text{:}$

Здесь $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ — цифры, причём $a\in \{1;2;\dots ;9\}\text{,}$ $b,c\in \{0;1;\dots ;9\}\text{.}$

Рассмотрим возможные значения $a\text{:}$

1. Если $a=6\text{,}$ то $111\cdot 6=666\text{.}$ Тогда $10(b-c)=736-666=70\text{,}$ откуда $b-c=7\text{.}$
2. Если $a=7\text{,}$ то $111\cdot 7=777>736\text{,}$ что не подходит, так как $10(b-c)$ должно быть отрицательным, но при этом выражение в левой части не сможет точно равняться $736$ (так как $777-736=41$ не делится на $10$).
3. При других значениях $a$ равенство также не достигается.

Итак, $a=6\text{,}$ $b-c=7\text{.}$ Так как $b$ и $c$ — цифры, возможны пары $(b;c)\text{:}$

• $(7;0)\text{,}$ тогда $N=6705\text{;}$
• $(8;1)\text{,}$ тогда $N=6815\text{;}$
• $(9;2)\text{,}$ тогда $N=6925\text{.}$

Все эти числа удовлетворяют условию. В ответе можно указать любое из них.

Ответ: 6705