Задача №13809

Найдите пятизначное натуральное число, кратное $3\text{,}$ сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть пятизначное число имеет цифры $a,b,c,d,e\text{,}$ где $a$ — первая цифра (от $1$ до $9$), а $b,c,d,e$ — от $0$ до $9\text{.}$ По условию сумма цифр равна их произведению:

Также число кратно $3\text{,}$ поэтому сумма цифр должна делиться на $3\text{.}$

Если хотя бы одна цифра равна $0\text{,}$ то произведение равно $0\text{,}$ но сумма положительна (так как число пятизначное и натуральное), равенство невозможно. Значит, все цифры принадлежат множеству от $1$ до $9\text{.}$

Поскольку произведение пяти цифр может быть велико, а сумма не превышает $45\text{,}$ ищем небольшие цифры. Подбором находим, что для цифр $1,1,1,3,3\text{:}$

1. Сумма: $1+1+1+3+3=9\text{.}$
2. Произведение: $1\cdot 1\cdot 1\cdot 3\cdot 3=9\text{.}$

Условие равенства выполняется, и сумма $9$ делится на $3\text{.}$

Таким образом, любое пятизначное число, составленное из этих цифр, удовлетворяет условию. Например, число $11133\text{:}$

• Оно пятизначное и натуральное;
• Сумма цифр: $1+1+1+3+3=9\text{;}$
• Произведение цифр: $1\cdot 1\cdot 1\cdot 3\cdot 3=9\text{;}$
• $9$ делится на $3\text{,}$ поэтому $11133$ кратно $3\text{.}$

Ответом может быть $11133$ или другая перестановка этих цифр, но по условию достаточно указать одно число.

Ответ: 11133