Задача №13808

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 6, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра в записи которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число $N>500\text{,}$ трёхзначное. При делении на 5 и на 6 даёт равные ненулевые остатки $r\text{,}$ где $1⩽r⩽4\text{.}$

Тогда $N-r$ делится на 5 и на 6, то есть на 30, поэтому $N=30t+r\text{.}$

Также средняя цифра $b$ равна среднему арифметическому крайних цифр $a$ и $c\text{:}$

Перебираем $t\text{,}$ начиная с наименьшего, чтобы $N>500\text{.}$ При $t=18\text{,}$ $r=3$ получаем:

Проверяем: $543\mathrm{mod}5=3\text{,}$ $543\mathrm{mod}6=3\text{,}$ остатки равны и ненулевые.

Цифры: $a=5\text{,}$ $b=4\text{,}$ $c=3\text{,}$ и

Условия выполнены.

Ответ: 543.