Задача №13806

Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше $55\text{,}$ но меньше $65\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число должно делиться на 15 (значит, на 3 и на 5), поэтому оканчивается на 0 или 5.

Произведение цифр $P$ удовлетворяет $55<P<65\text{.}$

Если оканчивается на 0, то $P=0\text{,}$ что не подходит. Значит, оканчивается на 5.

Пусть цифры числа $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $5\text{.}$ Тогда произведение цифр:

откуда

Так как $55<P<65\text{,}$ то

значит, $a\cdot b\cdot c=12\text{.}$

При этом сумма цифр $a+b+c+5$ должна делиться на 3.

Тройка цифр $(2,2,3)$ даёт произведение $12$ и сумму $2+2+3+5=12\text{,}$ которая делится на 3.

Составляем число 2235: оно оканчивается на 5, произведение цифр $2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=60$ (между 55 и 65), сумма цифр 12 делится на 3.

Ответ: 2235