Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. Неравенства: (x-1)^2(x-5) < 0 (x-1)(x-5) < 0 (x-1)/(x-5) > 0 ((x-5)^2)/(x-1) > 0 Решения: А) (-inf; 1) U (1; 5) Б) (1; 5) В) (1; 5) U (5; +inf) Г) (-inf; 1) U (5; +inf)
Решим каждое из предложенных неравенств. (x-1)^2(x-5) < 0 Выражение (x-1)^2 всегда неотрицательно и равно нулю при x = 1 . Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы второй множитель был отрицателен, а первый не был равен нулю: cases x - 5 < 0 x - 1 != 0 cases => cases x < 5 x != 1 cases Решением является объединение интервалов (-inf; 1) U (1; 5) . Это соответствует варианту А. (x-1)(x-5) < 0 Это квадратичное неравенство. Корнями соответствующего уравнения (x-1)(x-5) = 0 являются точки 1 и 5 . Методом интервалов определим знаки на числовой прямой: при x < 1 : (-) * (-) > 0 ; при 1 < x < 5 : (+) * (-) < 0 ; при x > 5 : (+) * (+) > 0 . Следовательно, решением является интервал (1; 5) . Это соответствует варианту Б. (x-1)/(x-5) > 0 Метод интервалов для дроби аналогичен произведению. Отметим на прямой выколотые точки 1 и 5 : при x < 1 : (-)/(-) > 0 ; при 1 < x < 5 : (+)/(-) < 0 ; при x > 5 : (+)/(+) > 0 . Решением является объединение интервалов (-inf; 1) U (5; +inf) . Это соответствует варианту Г. ((x-5)^2)/(x-1) > 0 Выражение (x-5)^2 неотрицательно и равно нулю при x = 5 . Чтобы дробь была строго больше нуля, необходимо, чтобы знаменатель был положителен, а числитель не был равен нулю: cases x - 1 > 0 x - 5 != 0 cases => cases x > 1 x != 5 cases Решением является объединение интервалов (1; 5) U (5; +inf) . Это соответствует варианту В. Сопоставим результаты: А — 1 Б — 2 В — 4 Г — 3 Ответ: 1243
1243