Задача №13773

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-1{)}^2(x-5)<0$
2. $(x-1)(x-5)<0$
3. $\frac{x-1}{x-5}>0$
4. $\frac{(x-5{)}^2}{x-1}>0$

Решения:
А) $(-\infty ;1)\cup (1;5)$
Б) $(1;5)$
В) $(1;5)\cup (5;+\infty )$
Г) $(-\infty ;1)\cup (5;+\infty )$

Решим каждое из предложенных неравенств.

1. $(x-1{)}^2(x-5)<0$
Выражение $(x-1{)}^2$ всегда неотрицательно и равно нулю при $x=1\text{.}$ Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы второй множитель был отрицателен, а первый не был равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x-5<0\\ x-1\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<5\\ x\ne 1\end{array}$$

Решением является объединение интервалов $(-\infty ;1)\cup (1;5)\text{.}$ Это соответствует варианту А.

2. $(x-1)(x-5)<0$
Это квадратичное неравенство. Корнями соответствующего уравнения $(x-1)(x-5)=0$ являются точки $1$ и $5\text{.}$ Методом интервалов определим знаки на числовой прямой:

• при $x<1\text{:}$ $(-)\cdot (-)>0\text{;}$
• при $1<x<5\text{:}$ $(+)\cdot (-)<0\text{;}$
• при $x>5\text{:}$ $(+)\cdot (+)>0\text{.}$

Следовательно, решением является интервал $(1;5)\text{.}$ Это соответствует варианту Б.

3. $\frac{x-1}{x-5}>0$
Метод интервалов для дроби аналогичен произведению. Отметим на прямой выколотые точки $1$ и $5\text{:}$

• при $x<1\text{:}$ $\frac{-}{-}>0\text{;}$
• при $1<x<5\text{:}$ $\frac{+}{-}<0\text{;}$
• при $x>5\text{:}$ $\frac{+}{+}>0\text{.}$

Решением является объединение интервалов $(-\infty ;1)\cup (5;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту Г.

4. $\frac{(x-5{)}^2}{x-1}>0$
Выражение $(x-5{)}^2$ неотрицательно и равно нулю при $x=5\text{.}$ Чтобы дробь была строго больше нуля, необходимо, чтобы знаменатель был положителен, а числитель не был равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x-5\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>1\\ x\ne 5\end{array}$$

Решением является объединение интервалов $(1;5)\cup (5;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту В.

Сопоставим результаты:

• А — 1
• Б — 2
• В — 4
• Г — 3

Ответ: 1243