Задача №13768

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $3^x⩾3$
2. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩾3$
3. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩽3$
4. $3^x⩽3$

Решения:
A. $x⩽-1$
B. $x⩾-1$
C. $x⩾1$
D. $x⩽1$

Решим каждое неравенство:

1. $3^x⩾3$
Представим правую часть в виде степени: $3^x⩾3^1\text{.}$ Так как основание степени $3>1\text{,}$ то показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$$x⩾1$$

Это решение соответствует варианту C.

2. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩾3$
Приведём обе части к основанию 3, используя свойство $a^{-n}=\frac{1}{a^n}\text{:}$

$$3^{-x}⩾3^1$$

Так как основание $3>1\text{,}$ переходим к показателям без изменения знака:

$$-x⩾1\Rightarrow x⩽-1$$

Это решение соответствует варианту A.

3. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x⩽3$
Аналогично предыдущему пункту приведём обе части к основанию 3:

$$3^{-x}⩽3^1$$ $$-x⩽1\Rightarrow x⩾-1$$

Это решение соответствует варианту B.

4. $3^x⩽3$
Запишем неравенство как $3^x⩽3^1\text{.}$ Так как основание $3>1\text{,}$ переходим к показателям:

$$x⩽1$$

Это решение соответствует варианту D.

Ответ: 1 — C, 2 — A, 3 — B, 4 — D.