Задача №13764

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева в записи которого является суммой двух других его цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пусть искомое трёхзначное число равно $N\text{.}$ По условию при делении на 5 и на 16 число $N$ даёт равные ненулевые остатки. Обозначим этот остаток через $r\text{.}$

Так как остаток при делении на 5 должен быть меньше 5, то $r\in \{1;2;3;4\}\text{.}$

Поскольку числа 5 и 16 взаимно просты, то если число при делении на них даёт один и тот же остаток $r\text{,}$ оно при делении на их произведение $5\cdot 16=80$ также даст остаток $r\text{.}$ Следовательно, искомое число можно представить в виде:

где $k$ — целое число, а $r\in \{1;2;3;4\}\text{.}$ Так как число трёхзначное, то $100⩽N⩽999\text{.}$

Также по условию первая цифра числа является суммой двух других его цифр. Пусть число $N=\overline{abc}\text{,}$ тогда $a=b+c\text{.}$

Проверим возможные значения $k\text{:}$

1. При $k=2\text{:}$ $N=160+r\text{.}$ Возможные числа: 161, 162, 163, 164.

• Для 161: $1\ne 6+1\text{;}$
• Для 162: $1\ne 6+2\text{;}$
• Для 163: $1\ne 6+3\text{;}$
• Для 164: $1\ne 6+4\text{.}$
  Ни одно число не подходит.

2. При $k=3\text{:}$ $N=240+r\text{.}$ Возможные числа: 241, 242, 243, 244.

• Для 241: $2\ne 4+1$ (сумма последних двух цифр явно больше первой).

3. При $k=4\text{:}$ $N=320+r\text{.}$ Возможные числа: 321, 322, 323, 324.

• Для 321: $3=2+1\text{.}$ Условие выполняется.

Проверим число 321:

• $321:5=64$ (остаток 1);
• $321:16=20$ (остаток 1);
• остатки равны и не равны нулю;
• первая цифра 3 равна сумме цифр 2 и 1.

Число найдено. Также подходят числа 404, 642, 963.

Ответ: 321