Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева в записи которого является суммой двух других его цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пусть искомое трёхзначное число равно N . По условию при делении на 5 и на 16 число N даёт равные ненулевые остатки. Обозначим этот остаток через r . Так как остаток при делении на 5 должен быть меньше 5, то r in 1; 2; 3; 4 . Поскольку числа 5 и 16 взаимно просты, то если число при делении на них даёт один и тот же остаток r , оно при делении на их произведение 5 * 16 = 80 также даст остаток r . Следовательно, искомое число можно представить в виде: N = 80k + r где k — целое число, а r in 1; 2; 3; 4 . Так как число трёхзначное, то 100 N 999 . Также по условию первая цифра числа является суммой двух других его цифр. Пусть число N = abc , тогда a = b + c . Проверим возможные значения k : При k = 2 : N = 160 + r . Возможные числа: 161, 162, 163, 164. Для 161: 1 != 6 + 1 ; Для 162: 1 != 6 + 2 ; Для 163: 1 != 6 + 3 ; Для 164: 1 != 6 + 4 . Ни одно число не подходит. При k = 3 : N = 240 + r . Возможные числа: 241, 242, 243, 244. Для 241: 2 != 4 + 1 (сумма последних двух цифр явно больше первой). При k = 4 : N = 320 + r . Возможные числа: 321, 322, 323, 324. Для 321: 3 = 2 + 1 . Условие выполняется. Проверим число 321: 321 : 5 = 64 (остаток 1); 321 : 16 = 20 (остаток 1); остатки равны и не равны нулю; первая цифра 3 равна сумме цифр 2 и 1. Число найдено. Также подходят числа 404, 642, 963. Ответ: 321
321