Задача №13753

Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на $3\text{,}$ и на $5$ даёт в остатке $2$ и цифры в записи которого чётные. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Обозначим искомое число через $N\text{.}$ По условию при делении на $3$ и на $5$ число $N$ даёт в остатке $2\text{.}$ Это означает, что число $N-2$ делится нацело и на $3\text{,}$ и на $5\text{.}$

2. Так как числа $3$ и $5$ взаимно простые, их наименьшее общее кратное равно $3\cdot 5=15\text{.}$ Следовательно, число $N-2$ делится на $15\text{,}$ и число $N$ можно представить в виде:

3. Выясним возможную последнюю цифру числа $N\text{.}$ Поскольку при делении на $5$ остаток равен $2\text{,}$ число $N$ должно оканчиваться на $2$ или на $7\text{.}$ По условию все цифры числа чётные, значит, последняя цифра может быть только $2\text{.}$

4. Пусть трёхзначное число имеет вид $\overline{ab2}\text{.}$ Сумма его цифр равна $a+b+2\text{.}$ По признаку делимости на $3\text{,}$ остаток от деления числа на $3$ равен остатку от деления суммы его цифр на $3\text{.}$ Тогда:

То есть сумма первых двух цифр должна делиться на $3\text{.}$ При этом цифры $a$ и $b$ должны быть чётными ($a,b\in \{0;2;4;6;8\}$) и первая цифра $a\ne 0\text{.}$

5. Подберём подходящие пары $(a;b)\text{:}$

• если $a=2\text{,}$ то $b$ может быть $4$ (так как $2+4=6$ делится на $3$), получаем число $242\text{;}$
• если $a=4\text{,}$ то $b$ может быть $2$ (сумма $6$) или $8$ (сумма $12$), получаем числа $422$ или $482\text{;}$
• если $a=6\text{,}$ то $b$ может быть $0$ (сумма $6$) или $6$ (сумма $12$), получаем числа $602$ или $662\text{;}$
• если $a=8\text{,}$ то $b$ может быть $4$ (сумма $12$), получаем число $842\text{.}$

6. Проверим число $242\text{:}$ оно трёхзначное, все цифры чётные, $242=5\cdot 48+2$ (остаток $2$), $242=3\cdot 80+2$ (остаток $2$). Условия выполнены.

Ответ: 242