Задача №13750

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна $49\text{,}$ во втором — $97\text{,}$ в третьем — $146\text{,}$ а сумма чисел в каждой строке больше $18\text{,}$ но меньше $21\text{.}$ Сколько всего строк в таблице?

Пусть $n$ — количество строк в таблице.

1. Найдём общую сумму всех натуральных чисел в таблице. По условию она складывается из сумм по столбцам:

2. Обозначим сумму чисел в $i$-й строке как $S_i\text{.}$ По условию в каждую клетку вписали натуральное число, следовательно, сумма в каждой строке — целое число. Из условия $18<S_i<21$ следует, что $S_i$ может принимать только два значения: $19$ или $20\text{.}$

3. Пусть $k$ — количество строк, сумма чисел в которых равна $19\text{,}$ а $m$ — количество строк с суммой $20\text{.}$ Тогда общее количество строк $n=k+m\text{.}$

4. Составим уравнение для общей суммы всех чисел в таблице:

5. Выразим $k$ через $n$ и $m\text{:}$ $k=n-m\text{.}$ Подставим в уравнение:

6. Так как $m$ — это количество строк, оно должно удовлетворять условию $0⩽m⩽n\text{.}$ Из уравнения $m=292-19n$ следует:

— $292-19n⩾0\Rightarrow 19n⩽292\Rightarrow n⩽15,\mathrm{36...}$

— $292-19n⩽n\Rightarrow 20n⩾292\Rightarrow n⩾14,6$

7. Единственное целое число в интервале $[14,6;15,36]$ — это $n=15\text{.}$

8. Проверим: если $n=15\text{,}$ то $m=292-19\cdot 15=292-285=7\text{.}$ Тогда $k=15-7=8\text{.}$

Сумма: $8\cdot 19+7\cdot 20=152+140=292\text{.}$ Условие выполняется.

Ответ: 15.