Задача №13745

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-1{)}^2(x-5)<0$
2. $(x-1)(x-5)<0$
3. $\frac{x-1}{x-5}>0$
4. $\frac{(x-5{)}^2}{x-1}>0$

Решения:
А. $(-\infty ;1)\cup (1;5)$
Б. $(1;5)$
В. $(1;5)\cup (5;+\infty )$
Г. $(-\infty ;1)\cup (5;+\infty )$

Решим каждое неравенство методом интервалов:

1. $(x-1{)}^2(x-5)<0$
Множитель $(x-1{)}^2$ всегда неотрицателен: $(x-1{)}^2⩾0\text{.}$ Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо выполнение условий:

$$\{\begin{array}{l}x-5<0,\\ x-1\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<5,\\ x\ne 1\end{array}$$

Решение: $(-\infty ;1)\cup (1;5)\text{,}$ что соответствует варианту А.

2. $(x-1)(x-5)<0$
Корнями выражения в левой части являются $x=1$ и $x=5\text{.}$ Согласно методу интервалов (или свойствам квадратичной функции, график которой — парабола с ветвями вверх), выражение принимает отрицательные значения на интервале между корнями.

Решение: $(1;5)\text{,}$ что соответствует варианту Б.

3. $\frac{x-1}{x-5}>0$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это равносильно условию $(x-1)(x-5)>0$ при условии $x\ne 5\text{.}$ Методом интервалов определяем, что выражение положительно вне промежутка между корнями.

Решение: $(-\infty ;1)\cup (5;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту Г.

4. $\frac{(x-5{)}^2}{x-1}>0$
Числитель $(x-5{)}^2$ всегда неотрицателен. Чтобы дробь была строго больше нуля, необходимо, чтобы знаменатель был положителен, а числитель не был равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x-1>0,\\ x-5\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>1,\\ x\ne 5\end{array}$$

Решение: $(1;5)\cup (5;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту В.

Запишем соответствие:
1 — А, 2 — Б, 3 — Г, 4 — В.

Ответ: АБГВ