Задача №13744

Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого больше 16, но меньше 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

1. Число делится на 18, следовательно, оно одновременно делится на 2 и на 9.

• Делимость на 2 означает, что число чётное (последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8).
• Делимость на 9 означает, что сумма цифр числа кратна 9.

2. Пусть искомое число — $\overline{abcd}\text{.}$ По условию произведение его цифр $P=a\cdot b\cdot c\cdot d$ удовлетворяет условию $16<P<24\text{.}$ Так как произведение больше 16, в записи числа нет нулей. Следовательно, последняя цифра $d\in \{2;4;6;8\}\text{.}$

3. Рассмотрим возможные значения произведения $P$ (целые числа от 17 до 23):

• 17, 19, 23 — простые числа, не могут быть разложены на 4 однозначных множителя.
• 22 — имеет делитель 11, что невозможно для цифры.
• 21 — раскладывается как $1\cdot 1\cdot 3\cdot 7\text{.}$ Сумма цифр: $1+1+3+7=12$ (не кратна 9).
• 20 — раскладывается как $1\cdot 1\cdot 4\cdot 5$ (сумма 11) или $1\cdot 2\cdot 2\cdot 5$ (сумма 10). Суммы не кратны 9.
• 18 — раскладывается на множители:
  а) $1;1;2;9$ (сумма 13 — не подходит);
  б) $1;1;3;6$ (сумма 11 — не подходит);
  в) $1;2;3;3$ (сумма $1+2+3+3=9$ — подходит).

4. Для набора цифр $\{1;2;3;3\}$ сумма равна 9. Чтобы число было чётным, оно должно оканчиваться на 2. Возможные варианты: 1332, 3132, 3312.

5. Проверим число 1332:

• Оно четырёхзначное;
• Кратность 18: $1332:18=74$ (верно);
• Произведение цифр: $1\cdot 3\cdot 3\cdot 2=18\text{.}$ Условие $16<18<24$ выполняется.

Ответ: 1332