Задача №13741

Найдите пятизначное натуральное число, кратное $15\text{,}$ любые две соседние цифры которого отличаются на $3\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Для того чтобы натуральное число было кратно $15\text{,}$ оно должно одновременно делиться на $3$ и на $5\text{.}$

1. Признак делимости на $5\text{:}$ число должно оканчиваться на $0$ или на $5\text{.}$ Пусть наше пятизначное число имеет вид $\overline{ABCDE}\text{.}$

2. Рассмотрим случай, когда число оканчивается на $0$ ($E=0$).
По условию любые две соседние цифры отличаются на $3\text{.}$ Если $E=0\text{,}$ то цифра $D$ может быть только $3$ (так как $|D-0|=3$).

3. Определим возможные значения остальных цифр:

• Если $D=3\text{,}$ то $C$ может быть $3-3=0$ или $3+3=6\text{.}$
• Пусть $C=0\text{.}$ Тогда $B$ может быть только $3$ (так как $|B-0|=3$).
• Если $B=3\text{,}$ то $A$ может быть $3-3=0$ (не подходит, так как число пятизначное) или $3+3=6\text{.}$

Получаем число $63030\text{.}$

4. Проверим число $63030$ на соответствие всем условиям:

• Кратность $5\text{:}$ оканчивается на $0$ (выполнено).
• Кратность $3\text{:}$ сумма цифр $6+3+0+3+0=12\text{.}$ Так как $12$ делится на $3\text{,}$ то и число делится на $3$ (выполнено).
• Разница между соседними цифрами:

Все условия выполнены.

Другим подходящим числом могло бы быть, например, $69630$ (сумма цифр $24\text{,}$ делится на $3$).

Ответ: 63030