Задача №13734

Найдите четырёхзначное число, кратное $15\text{,}$ произведение цифр которого больше $0\text{,}$ но меньше $25\text{.}$ В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Для того чтобы число было кратно $15\text{,}$ оно должно одновременно делиться на $3$ и на $5\text{.}$

1. Число делится на $5\text{,}$ если его последняя цифра — $0$ или $5\text{.}$ Однако по условию произведение цифр числа больше $0\text{,}$ значит, в записи числа не может быть нулей. Следовательно, последняя цифра числа равна $5\text{.}$

2. Пусть искомое четырёхзначное число имеет вид $\overline{abc5}\text{.}$ Произведение его цифр равно $P=a\cdot b\cdot c\cdot 5\text{.}$ По условию:

Разделим все части неравенства на $5\text{:}$

Поскольку $a,b,c$ — натуральные числа (цифры от $1$ до $9$), произведение $a\cdot b\cdot c$ может принимать значения $1\text{,}$ $2\text{,}$ $3$ или $4\text{.}$

3. Число делится на $3\text{,}$ если сумма его цифр $S=a+b+c+5$ кратна $3\text{.}$

Рассмотрим возможные наборы цифр для $a,b,c\text{:}$

• Если $a\cdot b\cdot c=1\text{,}$ то это цифры $\{1;1;1\}\text{.}$ Сумма $S=1+1+1+5=8$ (не делится на $3$).
• Если $a\cdot b\cdot c=2\text{,}$ то это цифры $\{1;1;2\}\text{.}$ Сумма $S=1+1+2+5=9$ (делится на $3$). Подходит.
• Если $a\cdot b\cdot c=3\text{,}$ то это цифры $\{1;1;3\}\text{.}$ Сумма $S=1+1+3+5=10$ (не делится на $3$).
• Если $a\cdot b\cdot c=4\text{,}$ то это наборы $\{1;1;4\}$ или $\{1;2;2\}\text{.}$ Суммы соответственно $S=1+1+4+5=11$ и $S=1+2+2+5=10$ (не делятся на $3$).

4. Из набора цифр $1,1,2$ и $5$ можно составить числа $1125\text{,}$ $1215$ или $2115\text{.}$ Выберем любое из них.

Проверка для числа $1125\text{:}$

• Кратно $15\text{:}$ $1125:15=75$ (верно).
• Произведение цифр: $1\cdot 1\cdot 2\cdot 5=10\text{.}$ Условие $0<10<25$ выполняется.

Ответ: 1125