Задача №13733

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_{4}x>1$
2. ${\log }_{4}x<-1$
3. ${\log }_{4}x>-1$
4. ${\log }_{4}x<1$

Решения:
A. $(4;+\infty )$
B. $(0;4)$
C. $\left(\frac{1}{4};+\infty \right)$
D. $\left(0;\frac{1}{4}\right)$

Решим каждое неравенство при условии, что аргумент логарифма должен быть положителен: $x>0\text{.}$ Так как основание логарифма $4>1\text{,}$ логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства для аргументов сохраняется.

1) ${\log }_{4}x>1$

$$x>4^1\Rightarrow x>4$$

Решение: $(4;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту A.

2) ${\log }_{4}x<-1$

$$\{\begin{array}{l}x<4^{-1}\\ x>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<\frac{1}{4}\\ x>0\end{array}\Rightarrow 0<x<\frac{1}{4}$$

Решение: $\left(0;\frac{1}{4}\right)\text{.}$ Это соответствует варианту D.

3) ${\log }_{4}x>-1$

$$x>4^{-1}\Rightarrow x>\frac{1}{4}$$

Решение: $\left(\frac{1}{4};+\infty \right)\text{.}$ Это соответствует варианту C.

4) ${\log }_{4}x<1$

$$\{\begin{array}{l}x<4^1\\ x>0\end{array}\Rightarrow 0<x<4$$

Решение: $(0;4)\text{.}$ Это соответствует варианту B.

Запишем полученное соответствие:

A — 1
B — 4
C — 3
D — 2

Ответ: 1432