Задача №13721

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1) $2^x⩾4$
2) $0,5^x⩾4$
3) $0,5^x⩽4$
4) $2^x⩽4$

Решения:
A) $(-\infty ;-2]$
B) $[2;+\infty )$
C) $(-\infty ;2]$
D) $[-2;+\infty )$

Обозначим решения в правом столбце буквами:

A: $(-\infty ;-2]$

B: $[2;+\infty )$

C: $(-\infty ;2]$

D: $[-2;+\infty )$

Решим каждое неравенство:

1. Неравенство $2^x⩾4\text{.}$

Поскольку $4=2^2\text{,}$ имеем $2^x⩾2^2\text{.}$ Основание степени $2>1\text{,}$ поэтому показательная функция возрастает, и неравенство равносильно:

$$x⩾2.$$

Следовательно, $x\in [2;+\infty )\text{,}$ что соответствует решению B.

2. Неравенство $0,5^x⩾4\text{.}$

Заметим, что $0,5=\frac{1}{2}=2^{-1}\text{,}$ поэтому $0,5^x=(2^{-1}{)}^x=2^{-x}\text{.}$ Также $4=2^2\text{.}$ Получаем неравенство:

$$2^{-x}⩾2^2.$$

Основание $2>1\text{,}$ функция возрастает, значит:

$$-x⩾2\Rightarrow x⩽-2.$$

Следовательно, $x\in (-\infty ;-2]\text{,}$ что соответствует решению A.

3. Неравенство $0,5^x⩽4\text{.}$

Аналогично предыдущему пункту:

$$2^{-x}⩽2^2\Rightarrow -x⩽2\Rightarrow x⩾-2.$$

Следовательно, $x\in [-2;+\infty )\text{,}$ что соответствует решению D.

4. Неравенство $2^x⩽4\text{.}$

Преобразуем неравенство:

$$2^x⩽2^2\Rightarrow x⩽2.$$

Следовательно, $x\in (-\infty ;2]\text{,}$ что соответствует решению C.

Таким образом, устанавливаем соответствие:

• Неравенство 1 соответствует решению B.
• Неравенство 2 соответствует решению A.
• Неравенство 3 соответствует решению D.
• Неравенство 4 соответствует решению C.

Для записи ответа в порядке номеров неравенств получаем последовательность букв: B, A, D, C.

Ответ: BADC