Задача №13718

Найдите пятизначное число, кратное 22, любые две соседние цифры которого отличаются на 3. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Поскольку число кратно 22, оно делится на 2 и на 11.

1. Делимость на 2 означает, что последняя цифра числа чётная.
2. Делимость на 11: для пятизначного числа с цифрами $a,b,c,d,e$ (где $a$ — первая цифра, $e$ — последняя) разность $(a+c+e)-(b+d)$ должна делиться на 11.
3. Условие на соседние цифры: любые две соседние цифры отличаются на 3, то есть:

Цифры $a,b,c,d,e$ — целые от 0 до 9, причём $a\ne 0\text{.}$

Будем искать пример такого числа. Выберем последнюю цифру $e=0$ (она чётная). Тогда из условия $|d-e|=3$ получаем $|d-0|=3\text{,}$ значит, $d=3$ (так как $d⩾0$).

Для цифры $c\text{:}$ $|c-d|=|c-3|=3\text{,}$ поэтому $c=6$ или $c=0\text{.}$

Рассмотрим случай $c=6\text{.}$ Тогда для $b\text{:}$ $|b-c|=|b-6|=3\text{,}$ откуда $b=9$ или $b=3\text{.}$

Возьмём $b=9\text{.}$ Теперь для $a\text{:}$ $|a-b|=|a-9|=3\text{,}$ поэтому $a=6$ (так как $a=12$ не является цифрой).

Получили цифры: $a=6\text{,}$ $b=9\text{,}$ $c=6\text{,}$ $d=3\text{,}$ $e=0\text{.}$ Число: $69630\text{.}$

Проверим делимость на 11:

что делится на 11. Число чётное, так как $e=0\text{.}$ Условие на соседние цифры выполнено.

Ответ: 69630