Задача №13715

Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 12, произведение цифр которого равно 10. В ответе запишите какое-нибудь одно такое число.

Пусть четырёхзначное число состоит из цифр $a,b,c,d\text{,}$ где $a\ne 0\text{.}$ По условию произведение цифр равно 10:

Так как цифры — это целые числа от 0 до 9, а $10=2\cdot 5\text{,}$ то набор цифр должен содержать 2 и 5, а остальные две цифры — единицы. Следовательно, цифры числа — это 1, 1, 2, 5 в некотором порядке.

Число должно быть кратно 12, то есть делиться одновременно на 3 и на 4.

1. Признак делимости на 3: сумма цифр должна делиться на 3. Сумма цифр:

что делится на 3. Поэтому любое число, составленное из этих цифр, делится на 3.

2. Признак делимости на 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4. Рассмотрим возможные двузначные окончания из цифр 1, 1, 2, 5. Проверим, какие из них делятся на 4:

• 11 — не делится на 4;
• 12 — делится на 4 (так как $12=4\cdot 3$);
• 15 — не делится на 4;
• 21 — не делится на 4;
• 25 — не делится на 4;
• 51 — не делится на 4;
• 52 — делится на 4 (так как $52=4\cdot 13$).

Таким образом, подходят окончания 12 и 52.

• Если последние две цифры 12, то первые две цифры — оставшиеся 1 и 5. Получаем числа 1512 и 5112.
• Если последние две цифры 52, то первые две цифры — оставшиеся 1 и 1. Получаем число 1152.

Проверим делимость на 12:

Все полученные числа делятся на 12. В ответ можно записать любое из них.

Ответ: 1152