Задача №13713

Найдите трёхзначное число $A\text{,}$ обладающее тремя свойствами:
— сумма цифр числа $A$ делится на 5;
— сумма цифр числа $A+4$ делится на 5;
— число $A$ больше 350 и меньше 400.
В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Поскольку число $A$ трёхзначное и лежит в интервале $350<A<400\text{,}$ его первая цифра равна 3. Пусть $A=\overline{3bc}\text{,}$ где $b$ — цифра десятков, $c$ — цифра единиц. Тогда:

1. Сумма цифр числа $A\text{:}$ $S_1=3+b+c\text{.}$ По условию $S_1$ делится на 5.

2. Рассмотрим число $A+4\text{.}$ В зависимости от значения $c$ возможны случаи:

Случай 1: $c⩽5\text{.}$ Тогда при прибавлении 4 переноса в следующий разряд нет, и $A+4=\overline{3b(c+4)}\text{.}$ Сумма цифр:

Для делимости $S_2$ на 5 нужно $S_1+4\equiv 0(\mathrm{mod}5)\text{,}$ т. е. $S_1\equiv 1(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Но из первого условия $S_1\equiv 0(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Противоречие. Значит, этот случай невозможен.

Случай 2: $c⩾6\text{.}$ Тогда при прибавлении 4 есть перенос из разряда единиц в десятки. Рассмотрим подслучаи:

Подслучай 2а: Если $b⩽8\text{,}$ то $A+4=\overline{3(b+1)(c-6)}\text{.}$ Сумма цифр:

Если $S_1$ делится на 5, то $S_2=S_1-5$ также делится на 5. Таким образом, условия совместимы.

Подслучай 2b: Если $b=9\text{,}$ то $A+4=400+(c-6)\text{,}$ и сумма его цифр $S_2=4+0+(c-6)=c-2\text{.}$ Требование $S_2\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ и $S_1\equiv 0(\mathrm{mod}5)$ приводит к системе:

Система не имеет решений, так как $c$ не может одновременно удовлетворять обоим условиям.

3. Итак, подходит только подслучай 2а: $c⩾6\text{,}$ $b⩽8\text{,}$ и $S_1=3+b+c$ делится на 5. Это равносильно условию $b+c\equiv 2(\mathrm{mod}5)\text{.}$

4. Переберём возможные значения $b$ от 5 до 8 и $c$ от 6 до 9:
— При $b=5\text{:}$ $5+c\equiv 2(\mathrm{mod}5)\Rightarrow c\equiv 2(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Из $c\in \{6;7;8;9\}$ подходит $c=7\text{.}$ Получаем $A=357\text{.}$
— При $b=6\text{:}$ $6+c\equiv 2(\mathrm{mod}5)\Rightarrow c\equiv 1(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Из $c\in \{6;7;8;9\}$ подходит $c=6\text{.}$ Получаем $A=366\text{.}$
— При $b=7\text{:}$ $7+c\equiv 2(\mathrm{mod}5)\Rightarrow c\equiv 0(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Нет подходящих $c\text{.}$
— При $b=8\text{:}$ $8+c\equiv 2(\mathrm{mod}5)\Rightarrow c\equiv 4(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Из $c\in \{6;7;8;9\}$ подходит $c=9\text{.}$ Получаем $A=389\text{.}$

5. Проверим числа:
— $A=357\text{:}$ сумма цифр $3+5+7=15$ (делится на 5); $A+4=361\text{,}$ сумма цифр $3+6+1=10$ (делится на 5).
— $A=366\text{:}$ сумма цифр $3+6+6=15\text{;}$ $A+4=370\text{,}$ сумма цифр $3+7+0=10\text{.}$
— $A=389\text{:}$ сумма цифр $3+8+9=20\text{;}$ $A+4=393\text{,}$ сумма цифр $3+9+3=15\text{.}$

6. Все найденные числа удовлетворяют условиям. По условию задачи в ответе достаточно указать любое такое число, например, 357.

Ответ: 357