Задача №13712

Установите соответствие между неравенствами и их решениями:

1. $(x-1)(x-3)<0$
2. $\frac{(x-3{)}^2}{x-1}>0$
3. $(x-1{)}^2(x-3)<0$
4. $\frac{x-1}{x-3}>0$

A. $1<x<3$
B. $1<x<3$ или $x>3$
C. $x<1$ или $1<x<3$
D. $x<1$ или $x>3$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Неравенство $(x-1)(x-3)<0\text{.}$
Нули: $x=1$ и $x=3\text{.}$ Поскольку квадратичная функция $f(x)=(x-1)(x-3)$ — это парабола ветвями вверх (старший коэффициент положителен), то $f(x)<0$ между корнями. Следовательно, решение: $1<x<3\text{.}$ Это соответствует варианту A.

2. Неравенство $\frac{(x-3{)}^2}{x-1}>0\text{.}$
Заметим, что $(x-3{)}^2⩾0$ для всех $x\text{,}$ причём равенство нулю достигается только при $x=3\text{.}$ Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель всегда неотрицателен, для строгого неравенства необходимо, чтобы он был положителен ($x\ne 3$) и знаменатель был положителен:

$$x-1>0\Rightarrow x>1.$$

Учитывая, что $x\ne 3\text{,}$ получаем решение: $1<x<3$ или $x>3\text{.}$ Это вариант B.

3. Неравенство $(x-1{)}^2(x-3)<0\text{.}$
Множитель $(x-1{)}^2$ всегда неотрицателен; он равен нулю только при $x=1\text{.}$ При $x\ne 1$ имеем $(x-1{)}^2>0\text{.}$ Тогда знак произведения определяется множителем $x-3\text{.}$ Чтобы произведение было отрицательным, нужно $x-3<0\Rightarrow x<3\text{,}$ при условии $x\ne 1\text{.}$ Таким образом, решение: $x<1$ или $1<x<3\text{.}$ Это вариант C.

4. Неравенство $\frac{x-1}{x-3}>0\text{.}$
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=1\text{;}$ нули знаменателя: $x=3\text{.}$ Отметим точки на числовой прямой и определим знак выражения на полученных интервалах:

• при $x<1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0-3}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}>0\text{;}$
• при $1<x<3$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2-3}=\frac{1}{-1}=-1<0\text{;}$
• при $x>3$ (например, $x=4$): $\frac{4-1}{4-3}=\frac{3}{1}=3>0\text{.}$
  Так как неравенство строгое, точки 1 и 3 не входят в решение. Следовательно, решение: $x<1$ или $x>3\text{.}$ Это вариант D.

Запишем соответствие в порядке номеров неравенств:
1 \rightarrow A,
2 \rightarrow B,
3 \rightarrow C,
4 \rightarrow D.

Ответ: ABCD