Задача №13708

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_2(x-1)<1$
2. $3^{-2x}>\frac{1}{9}$
3. $\frac{x-1}{(x-3{)}^2}>0$
4. $(x-1)(x-3)>0$

Решения:
1) $x<1$
2) $1<x<3\text{ или }x>3$
3) $1<x<3$
4) $x<1\text{ или }x>3$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Неравенство ${\log }_2(x-1)<1\text{.}$

ОДЗ: $x-1>0\Rightarrow x>1\text{.}$

Преобразуем: $1={\log }_{2}2\text{,}$ поэтому неравенство принимает вид ${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}2\text{.}$ Поскольку основание $2>1\text{,}$ логарифмическая функция возрастает, следовательно:

$$x-1<2\Rightarrow x<3.$$

Учитывая ОДЗ, получаем $1<x<3\text{.}$ Это соответствует решению $1<x<3$ (третий вариант в списке).

2. Неравенство $3^{-2x}>\frac{1}{9}\text{.}$

Заметим, что $\frac{1}{9}=3^{-2}\text{.}$ Подставляем:

$$3^{-2x}>3^{-2}.$$

Основание $3>1\text{,}$ поэтому показательная функция возрастает, и неравенство равносильно:

$$-2x>-2\Rightarrow x<1.$$

Это соответствует решению $x<1$ (первый вариант в списке).

3. Неравенство $\frac{x-1}{(x-3{)}^2}>0\text{.}$

Знаменатель $(x-3{)}^2$ всегда неотрицателен и равен нулю только при $x=3\text{.}$ Поскольку неравенство строгое, $x\ne 3\text{.}$ Для $x\ne 3$ знаменатель положителен, поэтому знак дроби определяется числителем $x-1\text{.}$

Дробь положительна, когда $x-1>0\text{,}$ то есть $x>1\text{,}$ при условии $x\ne 3\text{.}$ Таким образом, $x>1$ и $x\ne 3\text{,}$ что эквивалентно:

$$1<x<3\text{ или }x>3.$$

Это соответствует решению $1<x<3\text{ или }x>3$ (второй вариант в списке).

4. Неравенство $(x-1)(x-3)>0\text{.}$

Это квадратное неравенство. Нули функции: $x=1$ и $x=3\text{.}$ Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при:

$$x<1\text{ или }x>3.$$

Это соответствует решению $x<1\text{ или }x>3$ (четвёртый вариант в списке).

Установим соответствие между неравенствами и номерами решений:

• Неравенство 1 — решение 3;
• Неравенство 2 — решение 1;
• Неравенство 3 — решение 2;
• Неравенство 4 — решение 4.

Ответ: 3124