Задача №13700

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_{2}x>2$
2. ${\log }_{2}x<-2$
3. ${\log }_{2}x>-2$
4. ${\log }_{2}x<2$

Решения:
A. $(4;+\infty )$
B. $(0;4)$
C. $\left(\frac{1}{4};+\infty \right)$
D. $\left(0;\frac{1}{4}\right)$

Решим каждое неравенство, учитывая область допустимых значений (ОДЗ): $x>0\text{.}$ Так как основание логарифма $2>1\text{,}$ логарифмическая функция является возрастающей, поэтому при переходе к показательному неравенству знак сохраняется.

1. ${\log }_{2}x>2$

$$x>2^2\Rightarrow x>4$$

Решение: $(4;+\infty )\text{.}$ Соответствует варианту A.

2. ${\log }_{2}x<-2$

$$0<x<2^{-2}\Rightarrow 0<x<\frac{1}{4}$$

Решение: $\left(0;\frac{1}{4}\right)\text{.}$ Соответствует варианту D.

3. ${\log }_{2}x>-2$

$$x>2^{-2}\Rightarrow x>\frac{1}{4}$$

Решение: $\left(\frac{1}{4};+\infty \right)\text{.}$ Соответствует варианту C.

4. ${\log }_{2}x<2$

$$0<x<2^2\Rightarrow 0<x<4$$

Решение: $(0;4)\text{.}$ Соответствует варианту B.

Ответ: 1 — A, 2 — D, 3 — C, 4 — B.