Задача №13688

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_{2}x>1$
2. ${\log }_{2}x<-1$
3. ${\log }_{2}x>-1$
4. ${\log }_{2}x<1$

Решения:
A. $0<x<\frac{1}{2}$
B. $x>\frac{1}{2}$
C. $0<x<2$
D. $x>2$

Решим каждое логарифмическое неравенство. Учтём, что во всех случаях область допустимых значений $x>0\text{.}$ Так как основание логарифма $2>1\text{,}$ логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства для аргументов сохраняется.

1. ${\log }_{2}x>1$

$${\log }_{2}x>{\log }_2{2}^1\Rightarrow x>2$$

Это соответствует решению D.

2. ${\log }_{2}x<-1$

$${\log }_{2}x<{\log }_2{2}^{-1}\Rightarrow 0<x<\frac{1}{2}$$

Это соответствует решению A.

3. ${\log }_{2}x>-1$

$${\log }_{2}x>{\log }_2{2}^{-1}\Rightarrow x>\frac{1}{2}$$

Это соответствует решению B.

4. ${\log }_{2}x<1$

$${\log }_{2}x<{\log }_2{2}^1\Rightarrow 0<x<2$$

Это соответствует решению C.

Запишем полученное соответствие:

• Неравенство 1 — Решение D (4)
• Неравенство 2 — Решение A (1)
• Неравенство 3 — Решение B (2)
• Неравенство 4 — Решение C (3)

Ответ: 4123