Задача №13684

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $\frac{(x-3{)}^2}{x-2}>0$
2. $(x-2)(x-3)<0$
3. $\frac{x-2}{x-3}>0$
4. $(x-2{)}^2(x-3)<0$

Решения:
A. $(-\infty ;2)\cup (3;+\infty )$
B. $(2;3)\cup (3;+\infty )$
C. $(2;3)$
D. $(-\infty ;2)\cup (2;3)$

Решим каждое неравенство методом интервалов или анализом знаков множителей:

1. $\frac{(x-3{)}^2}{x-2}>0$

Числитель $(x-3{)}^2$ всегда неотрицателен. Дробь положительна, когда числитель не равен нулю ($x\ne 3$) и знаменатель положителен ($x-2>0$). Получаем систему:

$$\{\begin{array}{l}x>2,\\ x\ne 3\end{array}\Rightarrow x\in (2;3)\cup (3;+\infty )$$

Это соответствует решению B.

2. $(x-2)(x-3)<0$

Корнями выражения в левой части являются $x=2$ и $x=3\text{.}$ График функции $f(x)=(x-2)(x-3)$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения функция принимает между корнями:

$$x\in (2;3)$$

Это соответствует решению C.

3. $\frac{x-2}{x-3}>0$

Данная дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это равносильно неравенству $(x-2)(x-3)>0$ при условии $x\ne 3\text{.}$ Произведение положительно вне промежутка между корнями:

$$x\in (-\infty ;2)\cup (3;+\infty )$$

Это соответствует решению A.

4. $(x-2{)}^2(x-3)<0$

Множитель $(x-2{)}^2$ всегда неотрицателен. Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо, чтобы первый множитель был отличен от нуля ($x\ne 2$), а второй множитель был отрицателен ($x-3<0$):

$$\{\begin{array}{l}x<3,\\ x\ne 2\end{array}\Rightarrow x\in (-\infty ;2)\cup (2;3)$$

Это соответствует решению D.

Сопоставим неравенства с их решениями:
1 — B
2 — C
3 — A
4 — D