Задача №13670

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-1)(x-2)<0$
2. $\frac{x-1}{x-2}>0$
3. $(x-1{)}^2(x-2)<0$
4. $\frac{(x-2{)}^2}{x-1}>0$

Решения:
1. $1<x<2$
2. $1<x<2$ или $x>2$
3. $x<1$ или $1<x<2$
4. $x<1$ или $x>2$

Решим каждое неравенство методом интервалов:

1. $(x-1)(x-2)<0$

Корни левой части: $x=1$ и $x=2\text{.}$ Парабола, ветви которой направлены вверх, принимает отрицательные значения между корнями. Следовательно, решение: $1<x<2\text{.}$ Это соответствует решению № 1.

2. $\frac{x-1}{x-2}>0$

Знаки дроби совпадают со знаками произведения $(x-1)(x-2)$ при условии $x\ne 2\text{.}$ Выражение положительно вне отрезка, ограниченного корнями. Решение: $x<1$ или $x>2\text{.}$ Это соответствует решению № 4.

3. $(x-1{)}^2(x-2)<0$

Множитель $(x-1{)}^2$ всегда неотрицателен и равен нулю при $x=1\text{.}$ Чтобы всё произведение было строго меньше нуля, необходимо выполнение условий:

$$\{\begin{array}{l}x-2<0\\ x-1\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<2\\ x\ne 1\end{array}$$

Решение: $x<1$ или $1<x<2\text{.}$ Это соответствует решению № 3.

4. $\frac{(x-2{)}^2}{x-1}>0$

Числитель $(x-2{)}^2$ всегда неотрицателен и равен нулю при $x=2\text{.}$ Чтобы вся дробь была строго больше нуля, необходимо выполнение условий:

$$\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x-2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>1\\ x\ne 2\end{array}$$

Решение: $1<x<2$ или $x>2\text{.}$ Это соответствует решению № 2.

Сопоставив результаты, получаем последовательность цифр: 1432.

Ответ: 1432