Задача №13666

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $\frac{1}{(x-2)(x-3)}>0$
2. $3^{-x+3}>3$
3. ${\log }_{3}x>1$
4. $\frac{x-3}{x-2}<0$

Решения:
A. $(-\infty ;2)\cup (3;+\infty )$
B. $(3;+\infty )$
C. $(-\infty ;2)$
D. $(2;3)$

Решим каждое неравенство по отдельности и найдём соответствующий интервал из правого столбца.

1) $\frac{1}{(x-2)(x-3)}>0$

Так как числитель дроби — положительное число 1, всё выражение будет положительным тогда и только тогда, когда положителен знаменатель:

$$(x-2)(x-3)>0$$

Корнями уравнения $(x-2)(x-3)=0$ являются числа 2 и 3. Построим график соответствующей параболы или воспользуемся методом интервалов: выражение положительно на интервалах $(-\infty ;2)$ и $(3;+\infty )\text{.}$

Этот результат соответствует решению A.

2) $3^{-x+3}>3$

Представим правую часть в виде степени: $3=3^1\text{.}$

$$3^{-x+3}>3^1$$

Так как основание степени $3>1\text{,}$ показательная функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$$-x+3>1\Rightarrow -x>-2\Rightarrow x<2$$

Решение: интервал $(-\infty ;2)\text{.}$ Это соответствует решению C.

3) ${\log }_{3}x>1$

Область определения логарифма: $x>0\text{.}$ Преобразуем правую часть неравенства: $1={\log }_{3}3\text{.}$

$${\log }_{3}x>{\log }_{3}3$$

Так как основание логарифма $3>1\text{,}$ логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства для аргументов сохраняется:

$$x>3$$

С учётом ОДЗ получаем интервал $(3;+\infty )\text{.}$ Это соответствует решению B.

4) $\frac{x-3}{x-2}<0$

Применим метод интервалов. Отметим на числовой прямой точки 2 и 3, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Эти точки разбивают прямую на три интервала:

1. На $(-\infty ;2)$ выражение положительно;
2. На $(2;3)$ выражение отрицательно;
3. На $(3;+\infty )$ выражение положительно.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, следовательно, $x\in (2;3)\text{.}$ Это соответствует решению D.

Сопоставим результаты:
1 — A, 2 — C, 3 — B, 4 — D.

Ответ: 1 — A, 2 — C, 3 — B, 4 — D.