Задача №13663

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $\frac{(x-2{)}^2}{x-1}<0$
2. $2^{-x}<\frac{1}{2}$
3. ${\log }_{2}x>1$
4. $(x-1)(x-2)<0$

Решения:
A. $(1;+\infty )$
B. $(1;2)$
C. $(2;+\infty )$
D. $(-\infty ;1)$

Решим каждое из предложенных неравенств:

1. $\frac{(x-2{)}^2}{x-1}<0\text{.}$ Квадрат числа $(x-2{)}^2$ всегда неотрицателен. Для того чтобы дробь была строго меньше нуля, необходимо, чтобы числитель был отличен от нуля ($x\ne 2$), а знаменатель был отрицателен:

$$x-1<0\Rightarrow x<1$$

Поскольку при $x<1$ условие $x\ne 2$ выполняется автоматически, решением является интервал $(-\infty ;1)\text{.}$ Это соответствует пункту D.

2. $2^{-x}<\frac{1}{2}\text{.}$ Представим правую часть в виде степени с основанием 2:

$$2^{-x}<2^{-1}$$

Так как основание степени $2>1\text{,}$ показательная функция возрастает, и неравенство для показателей сохраняет знак:

$$-x<-1\Rightarrow x>1$$

Решением является интервал $(1;+\infty )\text{.}$ Это соответствует пункту A.

3. ${\log }_{2}x>1\text{.}$ Так как основание логарифма $2>1\text{,}$ логарифмическая функция возрастает. Перейдём к равносильному неравенству:

$$x>2^1\Rightarrow x>2$$

Решением является интервал $(2;+\infty )\text{.}$ Это соответствует пункту C.

4. $(x-1)(x-2)<0\text{.}$ Это квадратичное неравенство. Корнями выражения в левой части являются $x=1$ и $x=2\text{.}$ Методом интервалов определяем, что произведение отрицательно на промежутке между корнями: $(1;2)\text{.}$ Это соответствует пункту B.

Сопоставим неравенства и их решения:

• A: неравенство 2
• B: неравенство 4
• C: неравенство 3
• D: неравенство 1

Ответ: 2431