Задача №13659

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Решим каждое из неравенств:

А) Решим неравенство $\frac{x-5}{(x-3{)}^2}<0\text{.}$

Знаменатель дроби $(x-3{)}^2$ всегда положителен при всех допустимых значениях переменной, то есть при $x\ne 3\text{.}$ Следовательно, знак дроби определяется знаком её числителя. Неравенство равносильно системе:

$$\{\begin{array}{l}x-5<0\\ x\ne 3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<5\\ x\ne 3\end{array}$$

Решением этой системы является объединение интервалов: $(-\infty ;3)\cup (3;5)\text{.}$ Это решение под номером 2.

Б) Решим неравенство $5^{-x+1}<\frac{1}{25}\text{.}$

Преобразуем правую часть неравенства к основанию 5:

$$5^{-x+1}<5^{-2}.$$

Поскольку основание показательной функции $5>1\text{,}$ знак неравенства для показателей степеней сохраняется:

$$-x+1<-2\Rightarrow -x<-3\Rightarrow x>3.$$

Решением является интервал: $(3;+\infty )\text{.}$ Это решение под номером 4.

В) Решим неравенство $(x-3)(x-5)>0\text{.}$

Применим метод интервалов. Найдём нули левой части: $x=3$ и $x=5\text{.}$ Нанесём эти точки на числовую прямую и определим знаки выражения $(x-3)(x-5)$ на получившихся интервалах:

• на интервале $(-\infty ;3)\text{:}$ выражение положительно;
• на интервале $(3;5)\text{:}$ выражение отрицательно;
• на интервале $(5;+\infty )\text{:}$ выражение положительно.

Нам подходят интервалы, где выражение строго больше нуля: $(-\infty ;3)\cup (5;+\infty )\text{.}$ Это решение под номером 1.

Г) Решим неравенство ${\log }_2(x-3)<1\text{.}$

Неравенство равносильно системе, учитывающей область допустимых значений логарифма:

$$\{\begin{array}{l}x-3>0\\ x-3<2^1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>3\\ x<5\end{array}$$

Решением системы является интервал: $(3;5)\text{.}$ Это решение под номером 3.

Установим соответствие между неравенствами и их решениями:

Ответ: 2413.