Задача №13655

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-1{)}^2(x-4)<0$
2. $\frac{x-1}{x-4}>0$
3. $(x-1)(x-4)<0$
4. $\frac{(x-4{)}^2}{x-1}>0$

Решения:
A. $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$
B. $(1;4)\cup (4;+\infty )$
C. $(-\infty ;1)\cup (1;4)$
D. $(1;4)$

Решим каждое неравенство методом интервалов.

1. $(x-1{)}^2(x-4)<0$

Множитель $(x-1{)}^2$ всегда неотрицателен и равен нулю при $x=1\text{.}$ Так как неравенство строгое, $x\ne 1\text{.}$ При этом условии знак выражения совпадает со знаком множителя $x-4\text{:}$

$$\{\begin{array}{l}x-4<0\\ x\ne 1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<4\\ x\ne 1\end{array}\Rightarrow x\in (-\infty ;1)\cup (1;4)$$

Это соответствует решению C.

2. $\frac{x-1}{x-4}>0$

Отметим на числовой прямой выколотые точки 1 и 4. Определим знаки на интервалах:

• при $x<1\text{:}$ дробь положительна;
• при $1<x<4\text{:}$ дробь отрицательна;
• при $x>4\text{:}$ дробь положительна.

Решение: $x\in (-\infty ;1)\cup (4;+\infty )\text{.}$

Это соответствует решению A.

3. $(x-1)(x-4)<0$

Данному неравенству соответствует парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения она принимает между своими корнями 1 и 4.

Решение: $x\in (1;4)\text{.}$

Это соответствует решению D.

4. $\frac{(x-4{)}^2}{x-1}>0$

Множитель $(x-4{)}^2$ в числителе неотрицателен и равен нулю при $x=4\text{.}$ Так как неравенство строгое, $x\ne 4\text{.}$ Дробь будет положительна, если её знаменатель положителен:

$$\{\begin{array}{l}x-1>0\\ x\ne 4\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>1\\ x\ne 4\end{array}\Rightarrow x\in (1;4)\cup (4;+\infty )$$

Это соответствует решению B.

Установим соответствие:

• A — 2
• B — 4
• C — 1
• D — 3

Ответ: 2413