Задача №13642

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_{4}x>0$
2. $4^{-x+7}>16$
3. $\frac{x-1}{x-5}<0$
4. $\frac{1}{(x-5)(x-1)}>0$

Решения:
1) $x<1$ или $x>5$
2) $x>1$
3) $x<5$
4) $1<x<5$

Решим каждое из представленных неравенств:

1. ${\log }_{4}x>0$

Логарифмическая функция $y={\log }_{4}x$ определена при $x>0\text{.}$ Так как основание логарифма $4>1\text{,}$ неравенство равносильно следующему:

$$x>4^0\Rightarrow x>1.$$

Этому неравенству соответствует решение номер 2.

2. $4^{-x+7}>16$

Представим число 16 как степень с основанием 4:

$$4^{-x+7}>4^2.$$

Так как основание степени $4>1\text{,}$ переходим к сравнению показателей с сохранением знака неравенства:

$$-x+7>2\Rightarrow -x>-5\Rightarrow x<5.$$

Этому неравенству соответствует решение номер 3.

3. $\frac{x-1}{x-5}<0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=5\text{.}$ Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:
1) при $x<1\text{:}$ выражение положительно;
2) при $1<x<5\text{:}$ выражение отрицательно;
3) при $x>5\text{:}$ выражение положительно.

Следовательно, решением является интервал $1<x<5\text{.}$ Этому неравенству соответствует решение номер 4.

4. $\frac{1}{(x-5)(x-1)}>0$

Дробь положительна тогда и только тогда, когда её знаменатель положителен (так как числитель равен 1):

$$(x-5)(x-1)>0.$$

Это квадратичное неравенство с корнями $x=1$ и $x=5\text{.}$ Графиком функции $y=(x-1)(x-5)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне корней:

$$x<1\text{ или }x>5.$$

Этому неравенству соответствует решение номер 1.

Запишем итоговое соответствие:
1 — 2
2 — 3
3 — 4
4 — 1

Ответ: 2341.