Задача №13641

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1) ${\log }_{5}x>1$
2) ${\log }_{5}x<-1$
3) ${\log }_{5}x>-1$
4) ${\log }_{5}x<1$

Решения:
A) $\left(0;\frac{1}{5}\right)$
B) $(0;5)$
C) $(5;+\infty )$
D) $\left(\frac{1}{5};+\infty \right)$

Решим каждое из неравенств. Областью допустимых значений (ОДЗ) для всех неравенств является $x>0\text{.}$ Так как основание логарифма $5>1\text{,}$ логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется.

1) ${\log }_{5}x>1$

$${\log }_{5}x>{\log }_{5}5\Rightarrow x>5.$$

С учётом ОДЗ получаем интервал $(5;+\infty )\text{,}$ что соответствует решению C.

2) ${\log }_{5}x<-1$

$${\log }_{5}x<{\log }_5{5}^{-1}\Rightarrow x<\frac{1}{5}.$$

С учётом ОДЗ получаем интервал $\left(0;\frac{1}{5}\right)\text{,}$ что соответствует решению A.

3) ${\log }_{5}x>-1$

$${\log }_{5}x>{\log }_5{5}^{-1}\Rightarrow x>\frac{1}{5}.$$

С учётом ОДЗ получаем интервал $\left(\frac{1}{5};+\infty \right)\text{,}$ что соответствует решению D.

4) ${\log }_{5}x<1$

$${\log }_{5}x<{\log }_{5}5\Rightarrow x<5.$$

С учётом ОДЗ получаем интервал $(0;5)\text{,}$ что соответствует решению B.

Сопоставим неравенства и решения:

• Решению A соответствует неравенство 2.
• Решению B соответствует неравенство 4.
• Решению C соответствует неравенство 1.
• Решению D соответствует неравенство 3.

Получаем таблицу соответствия:

Ответ: 2413.