Задача №13634

Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений:

1. ${\log }_3(x-3)<1$
2. $5^{-x+2}>0,2$
3. $\frac{x-3}{(x-6{)}^2}>0$
4. $(x-6)(x-3)>0$

А. $3<x<6$ или $x>6$
Б. $3<x<6$
В. $x<3$
Г. $x<3$ или $x>6$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. ${\log }_3(x-3)<1$

Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $x-3>0\Rightarrow x>3\text{.}$
Представим правую часть в виде логарифма: $1={\log }_{3}3\text{.}$

$${\log }_3(x-3)<{\log }_{3}3$$

Так как основание логарифма $3>1\text{,}$ переходим к аргументам с сохранением знака неравенства:

$$x-3<3\Rightarrow x<6$$

С учётом ОДЗ получаем интервал: $3<x<6\text{.}$ Это соответствует варианту Б.

2. $5^{-x+2}>0,2$

Заметим, что $0,2=\frac{1}{5}=5^{-1}\text{.}$ Неравенство принимает вид:

$$5^{-x+2}>5^{-1}$$

Поскольку основание степени $5>1\text{,}$ знак неравенства для показателей сохраняется:

$$-x+2>-1\Rightarrow -x>-3\Rightarrow x<3$$

Это соответствует варианту В.

3. $\frac{x-3}{(x-6{)}^2}>0$

Выражение в знаменателе $(x-6{)}^2$ всегда положительно при $x\ne 6\text{.}$ Следовательно, дробь будет положительна тогда и только тогда, когда числитель положителен:

$$x-3>0\Rightarrow x>3$$

При этом необходимо исключить точку, в которой знаменатель равен нулю: $x\ne 6\text{.}$ Получаем решение: $3<x<6$ или $x>6\text{.}$ Это соответствует варианту А.

4. $(x-6)(x-3)>0$

Воспользуемся методом интервалов. Корни левой части: $x=3$ и $x=6\text{.}$ Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала:

• на $(-\infty ;3)$ выражение положительно;
• на $(3;6)$ выражение отрицательно;
• на $(6;+\infty )$ выражение положительно.

Решением является объединение промежутков $x<3$ или $x>6\text{.}$ Это соответствует варианту Г.

Ответ:
А — 3
Б — 1
В — 2
Г — 4