Задача №13633

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1) ${\log }_{4}x>0$
2) $4^{-x+7}>16$
3) $\frac{x-1}{x-5}<0$
4) $\frac{1}{(x-5)(x-1)}>0$

Решения:
A) $(-\infty ;1)\cup (5;+\infty )$
B) $(1;+\infty )$
C) $(1;5)$
D) $(-\infty ;5)$

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. ${\log }_{4}x>0$

Основание логарифма $4>1\text{,}$ поэтому функция ${\log }_{4}x$ возрастает. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x>0\text{.}$

$${\log }_{4}x>0\Rightarrow x>4^0\Rightarrow x>1.$$

Следовательно, $x\in (1;+\infty )\text{.}$ Это соответствует решению B.

2. $4^{-x+7}>16$

Преобразуем $16$ как степень $4\text{:}$ $16=4^2\text{.}$

Неравенство принимает вид $4^{-x+7}>4^2\text{.}$ Поскольку основание $4>1\text{,}$ показательная функция возрастает, и неравенство равносильно:

$$-x+7>2$$ $$-x>2-7\Rightarrow -x>-5\Rightarrow x<5.$$

Таким образом, $x\in (-\infty ;5)\text{.}$ Это соответствует решению D.

3. $\frac{x-1}{x-5}<0$

Решим методом интервалов. Критические точки: числитель равен нулю при $x=1\text{,}$ знаменатель равен нулю при $x=5$ (точка разрыва).

Проверим знак дроби на интервалах:

• для $x<1\text{,}$ например, $x=0\text{:}$ $\frac{0-1}{0-5}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}>0\text{;}$
• для $1<x<5\text{,}$ например, $x=2\text{:}$ $\frac{2-1}{2-5}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}<0\text{;}$
• для $x>5\text{,}$ например, $x=6\text{:}$ $\frac{6-1}{6-5}=\frac{5}{1}=5>0\text{.}$

Неравенство строгое ($<0$), поэтому подходит интервал, где дробь отрицательна: $x\in (1;5)\text{.}$ Это соответствует решению C.

4. $\frac{1}{(x-5)(x-1)}>0$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Числитель $1>0\text{,}$ поэтому знаменатель также должен быть положителен:

$$(x-5)(x-1)>0.$$

Решим это неравенство. Критические точки: $x=1$ и $x=5\text{.}$ Проверяем знаки:

• для $x<1\text{,}$ например, $x=0\text{:}$ $(0-5)(0-1)=(-5)(-1)=5>0\text{;}$
• для $1<x<5\text{,}$ например, $x=2\text{:}$ $(2-5)(2-1)=(-3)(1)=-3<0\text{;}$
• для $x>5\text{,}$ например, $x=6\text{:}$ $(6-5)(6-1)=(1)(5)=5>0\text{.}$

Следовательно, $(x-5)(x-1)>0$ при $x<1$ или $x>5\text{.}$ Точки $x=1$ и $x=5$ исключены, так как знаменатель не может быть нулем.

Поэтому $x\in (-\infty ;1)\cup (5;+\infty )\text{.}$ Это соответствует решению A.

Установим итоговое соответствие:
1 — B
2 — D
3 — C
4 — A

Ответ: 4132