Задача №13631

Установите соответствие между неравенствами и их решениями:

1. $x^2-5x-6⩽0$
2. $x^2-5x+6⩾0$
3. $x^2+5x+6⩾0$
4. $x^2+5x-6⩽0$

A. $-1⩽x⩽6$
B. $x⩽-3$ или $x⩾-2$
C. $x⩽2$ или $x⩾3$
D. $-6⩽x⩽1$

Решим каждое квадратное неравенство, найдя корни соответствующего квадратного уравнения и определив знак квадратного трёхчлена.

1. Неравенство $x^2-5x-6⩽0\text{.}$
Уравнение: $x^2-5x-6=0\text{.}$

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25+24=49$$

Корни:

$$x_1=\frac{5-7}{2}=-1;x_2=\frac{5+7}{2}=6$$

Коэффициент при $x^2$ положителен, парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $⩽0$ выполняется для значений $x$ между корнями: $-1⩽x⩽6\text{.}$ Это соответствует варианту A.

2. Неравенство $x^2-5x+6⩾0\text{.}$
Уравнение: $x^2-5x+6=0\text{.}$

$$D=25-24=1$$

Корни:

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2;x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

Парабола направлена ветвями вверх, неравенство $⩾0$ выполняется для значений $x$ вне корней: $x⩽2$ или $x⩾3\text{.}$ Это вариант C.

3. Неравенство $x^2+5x+6⩾0\text{.}$
Уравнение: $x^2+5x+6=0\text{.}$

$$D=25-24=1$$

Корни:

$$x_1=\frac{-5-1}{2}=-3;x_2=\frac{-5+1}{2}=-2$$

Парабола направлена ветвями вверх, неравенство $⩾0$ выполняется для значений $x$ вне корней: $x⩽-3$ или $x⩾-2\text{.}$ Это вариант B.

4. Неравенство $x^2+5x-6⩽0\text{.}$
Уравнение: $x^2+5x-6=0\text{.}$

$$D=25+24=49$$

Корни:

$$x_1=\frac{-5-7}{2}=-6;x_2=\frac{-5+7}{2}=1$$

Парабола направлена ветвями вверх, неравенство $⩽0$ выполняется для значений $x$ между корнями: $-6⩽x⩽1\text{.}$ Это вариант D.

Ответ: 1-A, 2-C, 3-B, 4-D.