Задача №13626

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $2^x⩾4$
2. $0,5^x⩾4$
3. $0,5^x⩽4$
4. $2^x⩽4$

Решения:
A. $x⩽-2$
B. $x⩾2$
C. $x⩽2$
D. $x⩾-2$

Рассмотрим каждое неравенство, приведя правую часть к степени с тем же основанием.

1. Неравенство $2^x⩾4\text{.}$

Заметим, что $4=2^2\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид:

$$2^x⩾2^2$$

Поскольку основание $2>1\text{,}$ показательная функция возрастает, и неравенство равносильно $x⩾2\text{.}$ Это соответствует решению B.

2. Неравенство $0,5^x⩾4\text{.}$

Представим $4$ как степень с основанием $0,5\text{:}$

$$0,5^x⩾0,5^{-2}$$

так как

$$0,5^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=2^2=4$$

Основание $0,5<1\text{,}$ показательная функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $x⩽-2\text{.}$ Это решение A.

3. Неравенство $0,5^x⩽4\text{.}$

Аналогично, $4=0,5^{-2}\text{,}$ поэтому:

$$0,5^x⩽0,5^{-2}$$

Основание $0,5<1\text{,}$ функция убывает, значит:

$$x⩾-2$$

Это решение D.

4. Неравенство $2^x⩽4\text{.}$

Так как $4=2^2\text{,}$ имеем:

$$2^x⩽2^2$$

Основание $2>1\text{,}$ функция возрастает, следовательно, $x⩽2\text{.}$ Это решение C.

Ответ: 1 — B, 2 — A, 3 — D, 4 — C.