Задача №13624

Установите соответствие между неравенствами и их решениями. В ответе запишите четыре цифры — номера решений в порядке следования неравенств.

Неравенства:
1) ( x^2 - 7x + 10 geqslant 0 )
2) ( x^2 + 7x + 10 geqslant 0 )
3) ( x^2 + 9x - 10 leqslant 0 )
4) ( x^2 - 9x - 10 leqslant 0 )

Решения:
1) ( x leqslant -5 ) или ( x geqslant -2 )
2) ( x leqslant 2 ) или ( x geqslant 5 )
3) ( -10 leqslant x leqslant 1 )
4) ( -1 leqslant x leqslant 10 )

Решим каждое квадратное неравенство, найдя корни квадратного трёхчлена и определив интервалы, где неравенство выполняется.

1. Неравенство $x^2-7x+10⩾0\text{.}$
Найдём корни уравнения:

$$x^2-7x+10=0$$ $$D=(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 10=49-40=9$$ $$x_1=\frac{7-3}{2}=2,x_2=\frac{7+3}{2}=5$$

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $⩾0$ выполняется при $x⩽2$ или $x⩾5\text{.}$ Это соответствует второму решению из списка.

2. Неравенство $x^2+7x+10⩾0\text{.}$
Найдём корни уравнения:

$$x^2+7x+10=0$$ $$D=7^2-4\cdot 1\cdot 10=49-40=9$$ $$x_1=\frac{-7-3}{2}=-5,x_2=\frac{-7+3}{2}=-2$$

Ветви параболы направлены вверх, неравенство $⩾0$ выполняется при $x⩽-5$ или $x⩾-2\text{.}$ Это соответствует первому решению из списка.

3. Неравенство $x^2+9x-10⩽0\text{.}$
Найдём корни уравнения:

$$x^2+9x-10=0$$ $$D=9^2-4\cdot 1\cdot (-10)=81+40=121$$ $$x_1=\frac{-9-11}{2}=-10,x_2=\frac{-9+11}{2}=1$$

Ветви параболы направлены вверх, неравенство $⩽0$ выполняется при $-10⩽x⩽1\text{.}$ Это соответствует третьему решению из списка.

4. Неравенство $x^2-9x-10⩽0\text{.}$
Найдём корни уравнения:

$$x^2-9x-10=0$$ $$D=(-9{)}^2-4\cdot 1\cdot (-10)=81+40=121$$ $$x_1=\frac{9-11}{2}=-1,x_2=\frac{9+11}{2}=10$$

Ветви параболы направлены вверх, неравенство $⩽0$ выполняется при $-1⩽x⩽10\text{.}$ Это соответствует четвёртому решению из списка.

Таким образом, соответствие:

• Неравенство 1 соответствует решению 2;
• Неравенство 2 соответствует решению 1;
• Неравенство 3 соответствует решению 3;
• Неравенство 4 соответствует решению 4.

Ответ: 2134