Задача №13622

Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений:

1. $x^2+11x-12⩽0$
2. $x^2-11x-12⩽0$
3. $x^2+7x+12⩾0$
4. $x^2-7x+12⩾0$

Множества решений:

А. $-1⩽x⩽12$
Б. $-12⩽x⩽1$
В. $x⩽3$ или $x⩾4$
Г. $x⩽-4$ или $x⩾-3$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Неравенство $x^2+11x-12⩽0\text{.}$

Найдём корни квадратного трёхчлена: решим уравнение $x^2+11x-12=0\text{.}$

$$D=11^2-4\cdot 1\cdot (-12)=121+48=169$$ $$x=\frac{-11\pm \sqrt{169}}{2}=\frac{-11\pm 13}{2}$$

Откуда $x_1=\frac{2}{2}=1\text{,}$ $x_2=\frac{-24}{2}=-12\text{.}$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола направлена ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2+11x-12⩽0$ выполняется при $-12⩽x⩽1\text{.}$

Это соответствует множеству Б.

2. Неравенство $x^2-11x-12⩽0\text{.}$

Уравнение: $x^2-11x-12=0\text{.}$

$$D=(-11{)}^2-4\cdot 1\cdot (-12)=121+48=169$$ $$x=\frac{11\pm \sqrt{169}}{2}=\frac{11\pm 13}{2}$$

Так что $x_1=\frac{24}{2}=12\text{,}$ $x_2=\frac{-2}{2}=-1\text{.}$

Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство верно при $-1⩽x⩽12\text{.}$

Это соответствует множеству А.

3. Неравенство $x^2+7x+12⩾0\text{.}$

Уравнение: $x^2+7x+12=0\text{.}$

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$$ $$x=\frac{-7\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-7\pm 1}{2}$$

Откуда $x_1=\frac{-6}{2}=-3\text{,}$ $x_2=\frac{-8}{2}=-4\text{.}$

Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $⩾0$ выполняется при $x⩽-4$ или $x⩾-3\text{.}$

Это соответствует множеству Г.

4. Неравенство $x^2-7x+12⩾0\text{.}$

Уравнение: $x^2-7x+12=0\text{.}$

$$D=(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$$ $$x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}$$

Так что $x_1=\frac{8}{2}=4\text{,}$ $x_2=\frac{6}{2}=3\text{.}$

Парабола направлена ветвями вверх, следовательно, неравенство верно при $x⩽3$ или $x⩾4\text{.}$

Это соответствует множеству В.

Таким образом, соответствие: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г, 4 — В.

Ответ: БАГВ