Задача №13621

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $2^x⩾2$
2. $0,5^x⩾2$
3. $0,5^x⩽2$
4. $2^x⩽2$

Решения:
A. $(-\infty ;-1]$
B. $(-\infty ;1]$
C. $[1;+\infty )$
D. $[-1;+\infty )$

Рассмотрим каждое неравенство, используя свойства показательной функции $y=a^x\text{:}$

1. Если основание $a>1\text{,}$ функция возрастает, и неравенство $a^x⩾a^y$ равносильно $x⩾y\text{.}$
2. Если основание $0<a<1\text{,}$ функция убывает, и неравенство $a^x⩾a^y$ равносильно $x⩽y\text{.}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. Неравенство $2^x⩾2\text{.}$ Основание $2>1\text{,}$ поэтому:

$$2^x⩾2^1\Rightarrow x⩾1$$

Решение: $x\in [1;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту C.

2. Неравенство $0,5^x⩾2\text{.}$ Основание $0,5<1\text{.}$ Запишем $0,5=2^{-1}\text{,}$ тогда:

$$2^{-x}⩾2^1$$

Так как основание $2>1\text{,}$ имеем $-x⩾1\text{,}$ откуда $x⩽-1\text{.}$

Решение: $x\in (-\infty ;-1]\text{,}$ что соответствует варианту A.

3. Неравенство $0,5^x⩽2\text{.}$ Аналогично:

$$2^{-x}⩽2^1\Rightarrow -x⩽1\Rightarrow x⩾-1$$

Решение: $x\in [-1;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту D.

4. Неравенство $2^x⩽2\text{.}$ Основание $2>1\text{,}$ поэтому:

$$2^x⩽2^1\Rightarrow x⩽1$$

Решение: $x\in (-\infty ;1]\text{,}$ что соответствует варианту B.

Таким образом, устанавливаем соответствие:
1 — C,
2 — A,
3 — D,
4 — B.

Ответ: 1 — C, 2 — A, 3 — D, 4 — B.