Задача №13620

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_{4}x>0$
2. $4^{-x+7}>16$
3. $\frac{x-1}{x-5}<0$
4. $\frac{1}{(x-5)(x-1)}>0$

Решения:
A. $(-\infty ;1)\cup (5;+\infty )$
B. $(1;+\infty )$
C. $(1;5)$
D. $(-\infty ;5)$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. Неравенство ${\log }_{4}x>0\text{.}$

Область определения: $x>0\text{.}$

Поскольку основание логарифма $4>1\text{,}$ логарифмическая функция возрастает, поэтому:

$x>4^0\text{,}$
$x>1\text{.}$

С учётом области определения получаем $x\in (1;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту B.

2. Неравенство $4^{-x+7}>16\text{.}$

Заметим, что $16=4^2\text{.}$ Перепишем неравенство:

$4^{-x+7}>4^2\text{.}$

Так как основание $4>1\text{,}$ функция возрастает, и знак неравенства сохраняется:

$-x+7>2\text{,}$
$-x>-5\text{,}$
$x<5\text{.}$

Решение: $(-\infty ;5)\text{,}$ что соответствует варианту D.

3. Неравенство $\frac{x-1}{x-5}<0\text{.}$

Решим методом интервалов. Найдём точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю: $x=1$ и $x=5\text{.}$

Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знак дроби на каждом из них:

• при $x=0\text{:}$ $\frac{0-1}{0-5}=\frac{1}{5}>0\text{;}$
• при $x=2\text{:}$ $\frac{2-1}{2-5}=-\frac{1}{3}<0\text{;}$
• при $x=6\text{:}$ $\frac{6-1}{6-5}=5>0\text{.}$

Нам подходит интервал, где выражение отрицательно: $(1;5)\text{.}$ Это вариант C.

4. Неравенство $\frac{1}{(x-5)(x-1)}>0\text{.}$

Так как числитель положителен ($1>0$), знак всей дроби совпадает со знаком знаменателя:

$(x-5)(x-1)>0\text{.}$

Это квадратичное неравенство с корнями $x=1$ и $x=5\text{.}$ График соответствующей функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Значения больше нуля достигаются на интервалах:

$(-\infty ;1)\cup (5;+\infty )\text{,}$

что соответствует варианту A.

Установим итоговое соответствие:
1 — B
2 — D
3 — C
4 — A

Ответ: BDCA