Задача №13618

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $\frac{(x-2{)}^2}{x-1}<0$
2. $2^{-x}<0,5$
3. ${\log }_{2}x>1$
4. $(x-1)(x-2)<0$

Решения:
A. $1<x<2$
B. $x>1$
C. $x>2$
D. $x<1$

1. Решим неравенство $\frac{(x-2{)}^2}{x-1}<0\text{.}$

Числитель $(x-2{)}^2$ всегда неотрицателен и равен нулю при $x=2\text{.}$ Знаменатель $x-1$ может быть положительным или отрицательным. Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку числитель $⩾0\text{,}$ для отрицательности нужно, чтобы числитель был положительным (т. е. $x\ne 2$) и знаменатель отрицательным (т. е. $x<1$). Также $x=1$ не входит в ОДЗ. Таким образом, решение: $x<1\text{,}$ что соответствует варианту D.

2. Решим неравенство $2^{-x}<0,5\text{.}$

Заметим, что $0,5=2^{-1}\text{.}$ Неравенство принимает вид:

$$2^{-x}<2^{-1}.$$

Показательная функция с основанием $2>1$ возрастает, поэтому $-x<-1\text{.}$ Умножая на $-1$ и меняя знак неравенства, получаем $x>1\text{.}$ Это соответствует варианту B.

3. Решим неравенство ${\log }_{2}x>1\text{.}$

Так как ${\log }_{2}2=1$ и логарифмическая функция с основанием $2>1$ возрастает, имеем $x>2\text{.}$ Это соответствует варианту C.

4. Решим неравенство $(x-1)(x-2)<0\text{.}$

Корни выражения: $x=1$ и $x=2\text{.}$ Квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом отрицательна между корнями. Следовательно, решение: $1<x<2\text{,}$ что соответствует варианту A.

Ответ: 1 — D, 2 — B, 3 — C, 4 — A.