Задача №13614

Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1) $x^2-6x-40⩽0$
2) $x^2-13x+40⩾0$
3) $x^2+6x-40⩽0$
4) $x^2+13x+40⩾0$

Решения:
A) $x⩽-8\text{ или }x⩾-5$
B) $-4⩽x⩽10$
C) $x⩽5\text{ или }x⩾8$
D) $-10⩽x⩽4$

Решим каждое квадратное неравенство методом интервалов.

1) $x^2-6x-40⩽0$
Найдём корни уравнения $x^2-6x-40=0\text{:}$

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot (-40)=36+160=196=14^2$$ $$x=\frac{6\pm 14}{2}$$

Корни: $x_1=-4$ и $x_2=10\text{.}$ Так как коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства $⩽0$ находится между корнями:
$-4⩽x⩽10\text{.}$
Это соответствует варианту B.

2) $x^2-13x+40⩾0$
Найдём корни уравнения $x^2-13x+40=0\text{:}$

$$D=(-13{)}^2-4\cdot 1\cdot 40=169-160=9=3^2$$ $$x=\frac{13\pm 3}{2}$$

Корни: $x_1=5$ и $x_2=8\text{.}$ Парабола направлена ветвями вверх, решение неравенства $⩾0$ находится вне корней:
$x⩽5\text{ или }x⩾8\text{.}$
Это соответствует варианту C.

3) $x^2+6x-40⩽0$
Найдём корни уравнения $x^2+6x-40=0\text{:}$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot (-40)=36+160=196=14^2$$ $$x=\frac{-6\pm 14}{2}$$

Корни: $x_1=-10$ и $x_2=4\text{.}$ Парабола направлена ветвями вверх, решение неравенства $⩽0$ находится между корнями:
$-10⩽x⩽4\text{.}$
Это соответствует варианту D.

4) $x^2+13x+40⩾0$
Найдём корни уравнения $x^2+13x+40=0\text{:}$

$$D=13^2-4\cdot 1\cdot 40=169-160=9=3^2$$ $$x=\frac{-13\pm 3}{2}$$

Корни: $x_1=-8$ и $x_2=-5\text{.}$ Парабола направлена ветвями вверх, решение неравенства $⩾0$ находится вне корней:
$x⩽-8\text{ или }x⩾-5\text{.}$
Это соответствует варианту A.

Установим итоговое соответствие:
Неравенство 1 $\to$ B
Неравенство 2 $\to$ C
Неравенство 3 $\to$ D
Неравенство 4 $\to$ A

Ответ: 2341