Задача №13611

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_{2}x>1$
2. ${\log }_{2}x<-1$
3. ${\log }_{2}x>-1$
4. ${\log }_{2}x<1$

Решения:
A. $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$
B. $(0;2)$
C. $\left(0;\frac{1}{2}\right)$
D. $(2;+\infty )$

Для каждого неравенства найдём решение, учитывая, что функция $y={\log }_{2}x$ возрастает (основание $2>1$) и определена при $x>0\text{.}$

1. ${\log }_{2}x>1\text{.}$
Поскольку логарифм возрастает, неравенство равносильно $x>2^1\text{,}$ то есть $x>2\text{.}$ С учётом ОДЗ $x>0\text{,}$ получаем $x>2$ или $(2;+\infty )\text{.}$
Соответствует решению D.

2. ${\log }_{2}x<-1\text{.}$
Равносильно $0<x<2^{-1}\text{,}$ то есть $0<x<\frac{1}{2}$ или $\left(0;\frac{1}{2}\right)\text{.}$
Соответствует решению C.

3. ${\log }_{2}x>-1\text{.}$
Равносильно $x>2^{-1}\text{,}$ то есть $x>\frac{1}{2}\text{.}$ С учётом ОДЗ $x>0\text{,}$ но $\frac{1}{2}>0\text{,}$ поэтому решение $x>\frac{1}{2}$ или $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)\text{.}$
Соответствует решению A.

4. ${\log }_{2}x<1\text{.}$
Равносильно $0<x<2^1\text{,}$ то есть $0<x<2$ или $(0;2)\text{.}$
Соответствует решению B.

Ответ: 1 — D, 2 — C, 3 — A, 4 — B.