Задача №13603

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1) ${\log }_{2}x<-2$
2) ${\log }_{2}x>2$
3) ${\log }_{2}x>-2$
4) ${\log }_{2}x<2$

Решения:
А) $0<x<4$
Б) $0<x<\frac{1}{4}$
В) $x>\frac{1}{4}$
Г) $x>4$

Для всех неравенств область определения: $x>0\text{,}$ так как логарифм определён при положительном аргументе.

Поскольку основание логарифма $2>1\text{,}$ функция ${\log }_{2}x$ возрастает. Следовательно, неравенства преобразуются следующим образом:

1. ${\log }_{2}x<-2$ эквивалентно $x<2^{-2}$ и $x>0\text{:}$

$$0<x<\frac{1}{4}.$$

Это соответствует решению Б.

2. ${\log }_{2}x>2$ эквивалентно:

$$x>2^2\Rightarrow x>4.$$

Это соответствует решению Г.

3. ${\log }_{2}x>-2$ эквивалентно:

$$x>2^{-2}\Rightarrow x>\frac{1}{4}.$$

Это соответствует решению В.

4. ${\log }_{2}x<2$ эквивалентно $x<2^2$ и $x>0\text{:}$

$$0<x<4.$$

Это соответствует решению А.

Таким образом:

• Неравенство 1 соответствует решению Б.
• Неравенство 2 соответствует решению Г.
• Неравенство 3 соответствует решению В.
• Неравенство 4 соответствует решению А.

Соответствие установлено.