Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. (x-2)^2(x-4) < 0 ((x-4)^2)/(x-2) > 0 (x-2)(x-4) < 0 (x-2)/(x-4) > 0 Решения: A. (-inf; 2) U (2; 4) B. (-inf; 2) U (4; +inf) C. (2; 4) D. (2; 4) U (4; +inf)
Решим каждое неравенство методом интервалов. (x-2)^2(x-4) < 0 Выражение (x-2)^2 0 для всех x , причём оно равно нулю при x = 2 . При x != 2 знак произведения определяется множителем (x - 4) : при x < 4 и x != 2 : (x - 2)^2 > 0 и (x - 4) < 0 , произведение отрицательно; при x > 4 : оба множителя положительны, произведение положительно; при x = 2 или x = 4 выражение равно нулю, что не удовлетворяет условию. Решение: (-inf; 2) U (2; 4) . Это соответствует варианту A. ((x-4)^2)/(x-2) > 0 Числитель (x-4)^2 0 , знаменатель x-2 != 0 (т. е. x != 2 ). Дробь положительна, когда и числитель, и знаменатель положительны: (x - 4)^2 > 0 при x != 4 ; x - 2 > 0 при x > 2 . Таким образом, при x > 2 и x != 4 дробь положительна. При x < 2 знаменатель отрицателен, и дробь отрицательна. При x = 4 дробь равна нулю. Решение: (2; 4) U (4; +inf) . Это соответствует варианту D. (x - 2)(x - 4) < 0 Корни левой части: x = 2 и x = 4 . Квадратичная функция f(x) = (x - 2)(x - 4) отрицательна на интервале между корнями. Решение: (2; 4) . Это соответствует варианту C. (x-2)/(x-4) > 0 Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки: оба положительны: x - 2 > 0 и x - 4 > 0 => x > 4 ; оба отрицательны: x - 2 < 0 и x - 4 < 0 => x < 2 . Заметим, что x != 4 согласно области допустимых значений. Решение: (-inf; 2) U (4; +inf) . Это соответствует варианту B. Ответ: 1—A, 2—D, 3—C, 4—B.
ADCB