Задача №13600

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

1. $(x-2{)}^2(x-4)<0$
2. $\frac{(x-4{)}^2}{x-2}>0$
3. $(x-2)(x-4)<0$
4. $\frac{x-2}{x-4}>0$

Решения:
A. $(-\infty ;2)\cup (2;4)$
B. $(-\infty ;2)\cup (4;+\infty )$
C. $(2;4)$
D. $(2;4)\cup (4;+\infty )$

Решим каждое неравенство методом интервалов.

1. $(x-2{)}^2(x-4)<0$

Выражение $(x-2{)}^2⩾0$ для всех $x\text{,}$ причём оно равно нулю при $x=2\text{.}$ При $x\ne 2$ знак произведения определяется множителем $(x-4)\text{:}$

• при $x<4$ и $x\ne 2\text{:}$ $(x-2{)}^2>0$ и $(x-4)<0\text{,}$ произведение отрицательно;
• при $x>4\text{:}$ оба множителя положительны, произведение положительно;
• при $x=2$ или $x=4$ выражение равно нулю, что не удовлетворяет условию.

Решение: $(-\infty ;2)\cup (2;4)\text{.}$ Это соответствует варианту A.

2. $\frac{(x-4{)}^2}{x-2}>0$

Числитель $(x-4{)}^2⩾0\text{,}$ знаменатель $x-2\ne 0$ (т. е. $x\ne 2$). Дробь положительна, когда и числитель, и знаменатель положительны:

• $(x-4{)}^2>0$ при $x\ne 4\text{;}$
• $x-2>0$ при $x>2\text{.}$

Таким образом, при $x>2$ и $x\ne 4$ дробь положительна. При $x<2$ знаменатель отрицателен, и дробь отрицательна. При $x=4$ дробь равна нулю.

Решение: $(2;4)\cup (4;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту D.

3. $(x-2)(x-4)<0$

Корни левой части: $x=2$ и $x=4\text{.}$ Квадратичная функция $f(x)=(x-2)(x-4)$ отрицательна на интервале между корнями.

Решение: $(2;4)\text{.}$ Это соответствует варианту C.

4. $\frac{x-2}{x-4}>0$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:

• оба положительны: $x-2>0$ и $x-4>0\Rightarrow x>4\text{;}$
• оба отрицательны: $x-2<0$ и $x-4<0\Rightarrow x<2\text{.}$

Заметим, что $x\ne 4$ согласно области допустимых значений.

Решение: $(-\infty ;2)\cup (4;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту B.

Ответ: 1—A, 2—D, 3—C, 4—B.