Задача №13590

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_2(x-1)<1$
2. $3^{-x}>\frac{1}{3}$
3. $\frac{x-1}{(x-3{)}^2}>0$
4. $(x-3)(x-1)>0$

Решения:
A. $(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$
B. $(1;3)\cup (3;+\infty )$
C. $(1;3)$
D. $(-\infty ;1)$

Решим каждое неравенство последовательно:

1. ${\log }_2(x-1)<1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-1>0\Rightarrow x>1\text{.}$

Так как основание логарифма $2>1\text{,}$ логарифмическая функция возрастает. Представим единицу как ${\log }_{2}2\text{:}$

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}2\Rightarrow x-1<2\Rightarrow x<3$$

С учётом ОДЗ получаем: $1<x<3\text{.}$ Это соответствует решению C.

2. $3^{-x}>\frac{1}{3}$

Представим правую часть в виде степени: $\frac{1}{3}=3^{-1}\text{.}$

$$3^{-x}>3^{-1}$$

Так как основание степени $3>1\text{,}$ знак неравенства для показателей сохраняется:

$$-x>-1\Rightarrow x<1$$

Это соответствует решению D.

3. $\frac{x-1}{(x-3{)}^2}>0$

Знаменатель $(x-3{)}^2$ всегда положителен при $x\ne 3\text{.}$ Значит, знак дроби совпадает со знаком числителя:

$$x-1>0\Rightarrow x>1$$

При этом необходимо исключить точку, в которой знаменатель равен нулю: $x\ne 3\text{.}$

Таким образом, $x\in (1;3)\cup (3;+\infty )\text{.}$ Это соответствует решению B.

4. $(x-3)(x-1)>0$

Это квадратное неравенство. Корни соответствующего уравнения: $x=1$ и $x=3\text{.}$ Парабола $y=(x-3)(x-1)$ направлена ветвями вверх, поэтому значения выражения положительны вне интервала корней:

$$x<1\text{ или }x>3$$

Это соответствует решению A.

Сопоставим неравенства и решения:
1 — C
2 — D
3 — B
4 — A

Ответ: 3421