Задача №13588

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $2^x⩾0,5$
2. $0,5^x⩾0,5$
3. $0,5^x⩽0,5$
4. $2^x⩽0,5$

Решения:
A. $x⩽-1$
B. $x⩽1$
C. $x⩾1$
D. $x⩾-1$

Решим каждое из показательных неравенств, используя свойства монотонности показательной функции.

1. $2^x⩾0,5$
Приведём обе части к основанию 2. Так как $0,5=\frac{1}{2}=2^{-1}\text{,}$ получаем:

$$2^x⩾2^{-1}$$

Поскольку основание $2>1\text{,}$ показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Значит, знак неравенства для показателей сохраняется:

$$x⩾-1$$

Это решение соответствует пункту D.

2. $0,5^x⩾0,5$
Это неравенство вида $0,5^x⩾0,5^1\text{.}$ Поскольку основание $0<0,5<1\text{,}$ показательная функция $y=0,5^t$ является убывающей. Значит, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$$x⩽1$$

Это решение соответствует пункту B.

3. $0,5^x⩽0,5$
Это неравенство вида $0,5^x⩽0,5^1\text{.}$ Поскольку основание $0,5<1\text{,}$ знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$$x⩾1$$

Это решение соответствует пункту C.

4. $2^x⩽0,5$
Приведём к основанию 2:

$$2^x⩽2^{-1}$$

Поскольку основание $2>1\text{,}$ знак неравенства сохраняется:

$$x⩽-1$$

Это решение соответствует пункту A.

Ответ: 1 — D, 2 — B, 3 — C, 4 — A.