Задача №13587

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. ${\log }_{2}x>0$
2. $2^{-x}>2$
3. $\frac{x}{x-1}<0$
4. $\frac{1}{x(x-1)}>0$

Решения:
A. $x<0$ или $x>1$
B. $x>1$
C. $0<x<1$
D. $x<-1$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) ${\log }_{2}x>0\text{.}$ Так как основание логарифма $2>1\text{,}$ неравенство равносильно условию $x>2^0\text{,}$ то есть $x>1\text{.}$ Это соответствует решению B.

2) $2^{-x}>2\text{.}$ Запишем неравенство в виде $2^{-x}>2^1\text{.}$ Поскольку основание $2>1\text{,}$ переходим к сравнению показателей: $-x>1\text{,}$ откуда $x<-1\text{.}$ Это соответствует решению D.

3) $\frac{x}{x-1}<0\text{.}$ Решим неравенство методом интервалов. Точки $x=0$ и $x=1$ разбивают числовую прямую на интервалы. Проверим знаки на каждом: при $x\in (0;1)$ выражение принимает отрицательные значения. Это соответствует решению C.

4) $\frac{1}{x(x-1)}>0\text{.}$ Так как числитель дроби положителен, знак дроби совпадает со знаком знаменателя: $x(x-1)>0\text{.}$ Решением являются промежутки $x<0$ или $x>1\text{.}$ Это соответствует решению A.

Ответ: 1 — B, 2 — D, 3 — C, 4 — A.