Задача №13582

Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений.

Неравенства:
1. $(x-2{)}^2(x-4)<0$
2. $\frac{(x-4{)}^2}{x-2}>0$
3. $(x-2)(x-4)<0$
4. $\frac{x-2}{x-4}>0$

Множества решений:
А) $x<2$ или $2<x<4$
Б) $x<2$ или $x>4$
В) $2<x<4$
Г) $2<x<4$ или $x>4$

Решим каждое неравенство и найдём соответствующее множество решений:

1. $(x-2{)}^2(x-4)<0$
Множитель $(x-2{)}^2$ всегда неотрицателен. Поскольку неравенство строгое, $(x-2{)}^2\ne 0\text{,}$ следовательно, $x\ne 2\text{.}$ При $x\ne 2$ выражение $(x-2{)}^2>0\text{,}$ значит, неравенство сводится к $x-4<0\text{,}$ то есть $x<4\text{.}$ С учётом условия $x\ne 2\text{,}$ получаем: $x<2$ или $2<x<4\text{.}$ Это соответствует варианту А.

2. $\frac{(x-4{)}^2}{x-2}>0$
Числитель $(x-4{)}^2$ неотрицателен. Он равен нулю при $x=4\text{,}$ но так как неравенство строгое, $x\ne 4\text{.}$ При $x\ne 4$ числитель положителен, значит, дробь будет положительна, если знаменатель положителен: $x-2>0\text{,}$ то есть $x>2\text{.}$ С учётом условия $x\ne 4\text{,}$ получаем: $2<x<4$ или $x>4\text{.}$ Это соответствует варианту Г.

3. $(x-2)(x-4)<0$
Корнями соответствующего уравнения $(x-2)(x-4)=0$ являются числа 2 и 4. Графиком функции $f(x)=(x-2)(x-4)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения функция принимает между корнями: $2<x<4\text{.}$ Это соответствует варианту В.

4. $\frac{x-2}{x-4}>0$
Решим методом интервалов. Точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: 2 и 4. Расставим знаки выражения на интервалах:

• при $x<2\text{:}$ $\frac{-}{-}>0$ (подходит);
• при $2<x<4\text{:}$ $\frac{+}{-}<0$ (не подходит);
• при $x>4\text{:}$ $\frac{+}{+}>0$ (подходит).
  Множество решений: $x<2$ или $x>4\text{.}$ Это соответствует варианту Б.

Запишем полученное соответствие:
А — 1
Б — 4
В — 3
Г — 2

Ответ: 1432