Установите соответствие между неравенствами и множествами их решений. Неравенства: (x-2)^2(x-4) < 0 ((x-4)^2)/(x-2) > 0 (x-2)(x-4) < 0 (x-2)/(x-4) > 0 Множества решений: А) x < 2 или 2 < x < 4 Б) x < 2 или x > 4 В) 2 < x < 4 Г) 2 < x < 4 или x > 4
Решим каждое неравенство и найдём соответствующее множество решений: (x-2)^2(x-4) < 0 Множитель (x-2)^2 всегда неотрицателен. Поскольку неравенство строгое, (x-2)^2 != 0 , следовательно, x != 2 . При x != 2 выражение (x-2)^2 > 0 , значит, неравенство сводится к x-4 < 0 , то есть x < 4 . С учётом условия x != 2 , получаем: x < 2 или 2 < x < 4 . Это соответствует варианту А. ((x-4)^2)/(x-2) > 0 Числитель (x-4)^2 неотрицателен. Он равен нулю при x = 4 , но так как неравенство строгое, x != 4 . При x != 4 числитель положителен, значит, дробь будет положительна, если знаменатель положителен: x-2 > 0 , то есть x > 2 . С учётом условия x != 4 , получаем: 2 < x < 4 или x > 4 . Это соответствует варианту Г. (x-2)(x-4) < 0 Корнями соответствующего уравнения (x-2)(x-4) = 0 являются числа 2 и 4. Графиком функции f(x) = (x-2)(x-4) является парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения функция принимает между корнями: 2 < x < 4 . Это соответствует варианту В. (x-2)/(x-4) > 0 Решим методом интервалов. Точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: 2 и 4. Расставим знаки выражения на интервалах: при x < 2 : (-)/(-) > 0 (подходит); при 2 < x < 4 : (+)/(-) < 0 (не подходит); при x > 4 : (+)/(+) > 0 (подходит). Множество решений: x < 2 или x > 4 . Это соответствует варианту Б. Запишем полученное соответствие: А — 1 Б — 4 В — 3 Г — 2 Ответ: 1432
1432