Задача №13579

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-1{)}^2(x-4)<0$
2. $\frac{x-1}{x-4}>0$
3. $(x-1)(x-4)<0$
4. $\frac{(x-4{)}^2}{x-1}>0$

Решения:
A. $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$
B. $(1;4)\cup (4;+\infty )$
C. $(-\infty ;1)\cup (1;4)$
D. $(1;4)$

Решим каждое неравенство методом интервалов:

1. $(x-1{)}^2(x-4)<0$
Множитель $(x-1{)}^2$ всегда неотрицателен и обращается в нуль при $x=1\text{.}$ Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был меньше нуля:

$$x-4<0\Rightarrow x<4$$

При этом выражение не может быть равно нулю, поэтому исключаем точку $x=1\text{.}$

Решение: $x\in (-\infty ;1)\cup (1;4)\text{.}$ Это соответствует варианту C.

2. $\frac{x-1}{x-4}>0$
Корни числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=4\text{.}$ Отметим их на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах:
1. На $(-\infty ;1)\text{:}$ $\frac{-}{-}>0$ (подходит)
2. На $(1;4)\text{:}$ $\frac{+}{-}<0$
3. На $(4;+\infty )\text{:}$ $\frac{+}{+}>0$ (подходит)

Решение: $x\in (-\infty ;1)\cup (4;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту A.

3. $(x-1)(x-4)<0$
Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения: $x=1$ и $x=4\text{.}$ Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения функция принимает между корнями.

Решение: $x\in (1;4)\text{.}$ Это соответствует варианту D.

4. $\frac{(x-4{)}^2}{x-1}>0$
Множитель $(x-4{)}^2$ всегда неотрицателен и обращается в нуль при $x=4\text{.}$ Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть больше нуля:

$$x-1>0\Rightarrow x>1$$

При этом числитель не может быть равен нулю, поэтому исключаем точку $x=4\text{.}$

Решение: $x\in (1;4)\cup (4;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту B.

Запишем полученное соответствие:
1 — C
2 — A
3 — D
4 — B

Ответ: 2413