Задача №13574

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1) $\frac{(x-2{)}^2}{x-1}<0$
2) $2^{-x}<\frac{1}{2}$
3) ${\log }_{2}x>1$
4) $(x-1)(x-2)<0$

Решения:
A) $(1;+\infty )$
B) $(1;2)$
C) $(2;+\infty )$
D) $(-\infty ;1)$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $\frac{(x-2{)}^2}{x-1}<0$

Числитель $(x-2{)}^2$ всегда неотрицателен и равен нулю при $x=2\text{.}$ Чтобы дробь была строго меньше нуля, числитель должен быть положителен (то есть $x\ne 2$), а знаменатель — отрицателен:

$$x-1<0\Rightarrow x<1$$

Условие $x\ne 2$ при $x<1$ выполняется. Таким образом, решением является интервал $(-\infty ;1)\text{,}$ что соответствует варианту D.

2) $2^{-x}<\frac{1}{2}$

Представим правую часть как степень с основанием 2:

$$2^{-x}<2^{-1}$$

Так как основание $2>1\text{,}$ показательная функция возрастает, поэтому:

$$-x<-1\Rightarrow x>1$$

Решением является интервал $(1;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту A.

3) ${\log }_{2}x>1$

Запишем правую часть в виде логарифма:

$${\log }_{2}x>{\log }_{2}2$$

Так как основание логарифма $2>1\text{,}$ функция возрастает. С учётом области определения ($x>0$) получаем:

$$x>2$$

Решением является интервал $(2;+\infty )\text{,}$ что соответствует варианту C.

4) $(x-1)(x-2)<0$

Это квадратичное неравенство. Графиком функции $f(x)=(x-1)(x-2)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а точки пересечения с осью абсцисс — 1 и 2. Отрицательные значения функция принимает между корнями:

$$1<x<2$$

Решением является интервал $(1;2)\text{,}$ что соответствует варианту B.

Сопоставим результаты:
1 — D,
2 — A,
3 — C,
4 — B.

Ответ: 4132