Задача №13573

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства:
1. $(x-2{)}^2(x-4)<0$
2. $\frac{(x-4{)}^2}{x-2}>0$
3. $(x-2)(x-4)<0$
4. $\frac{x-2}{x-4}>0$

Решения:
A. $(-\infty ;2)\cup (2;4)$
B. $(-\infty ;2)\cup (4;+\infty )$
C. $(2;4)$
D. $(2;4)\cup (4;+\infty )$

Решим каждое неравенство методом интервалов и сопоставим результаты с предложенными вариантами решений.

1. $(x-2{)}^2(x-4)<0$

Выражение $(x-2{)}^2$ всегда неотрицательно и равно нулю при $x=2\text{.}$ Для того чтобы произведение было строго меньше нуля, множитель $x-4$ должен быть отрицательным, а множитель $(x-2{)}^2$ не должен быть равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x-4<0,\\ x-2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x<4,\\ x\ne 2.\end{array}$$

Решение: $x\in (-\infty ;2)\cup (2;4)\text{.}$ Это соответствует варианту A.

2. $\frac{(x-4{)}^2}{x-2}>0$

Выражение $(x-4{)}^2$ всегда неотрицательно и равно нулю при $x=4\text{.}$ Дробь положительна, если знаменатель положителен, а числитель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}x-2>0,\\ x-4\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>2,\\ x\ne 4.\end{array}$$

Решение: $x\in (2;4)\cup (4;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту D.

3. $(x-2)(x-4)<0$

Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения: $x_1=2\text{,}$ $x_2=4\text{.}$ Графиком функции $y=(x-2)(x-4)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Решение: $x\in (2;4)\text{.}$ Это соответствует варианту C.

4. $\frac{x-2}{x-4}>0$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это равносильно неравенству $(x-2)(x-4)>0$ при условии $x\ne 4\text{.}$ Значения выражения положительны вне интервала между корнями $x=2$ и $x=4\text{.}$

Решение: $x\in (-\infty ;2)\cup (4;+\infty )\text{.}$ Это соответствует варианту B.

Таким образом, получаем соответствие:
1 — A
2 — D
3 — C
4 — B

Ответ: 1A2D3C4B